1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 导数及其应用 第一章 1.2 导数的运算第3课时 导数的四则运算法则第一章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习其实，导数和实数一样可以进行四则运算，我们可以通过导数的加、减、乘、除来计算由基本初等函数通过加减乘除构成的函数，这样我们就避免了使用导数的定义求复杂函数的导数，使运算变得简单.求函数yf(x)的导数的步骤是什么？答案：(1)求函数改变量yf(xx)f(x)；(2)求平均变化率yxfxxfxx；(3)取极限，得导数f(x)limx0fxxfxx.一、导数的四则运算法则1函数和(或差)的求导法则
2、若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)g(x)f(x)g(x)，(f(x)g(x)f(x)g(x)注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)g(x)f(x)g(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)2函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)注意：(1)若C为常数，则Cf(x)Cf(x)Cf(x)0Cf(x)Cf(x)，即Cf(x)Cf(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数(2)af(x)
3、bg(x)af(x)bg(x)，a，b为常数切忌把f(x)g(x)记成f(x)g(x)求函数yx3cosx的导数解析 y(x3)cosxx3(cosx)3x2cosxx3sinx.导学号053001553函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有fxgxfxgxfxgxg2x(g(x)0)注意：(1)当f(x)1时，有1gxgxg2x.注意fxgxfxgx.(2)在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f(x)g(x)与g(x)f(x)之间为“”号；而两个函数商 fxgx 的导数公式中，f(x)g(x)与f(x)g(x)之间为“”号求y x2sinx的导数解析 yx2sinxx2s
4、inxsin2x2xsinxx2cosxsin2x.导学号05300156二、复合函数的求导法则对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)如函数y(2x3)2是由yu2和u2x3复合而成的1复合函数的求导法则一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且yxyuux或f(x)f(u)(x)或dydxdydududx，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数2求复合
5、函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数整个过程可简记为“分解求导回代”熟练后，可省略中间过程若遇多重复合，可相应的多次用中间变量3求复合函数的导数应处理好以下环节：中间变量的选择应是基本函数结构；关键是正确分析函数的复合层次；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；最后要把中间变量换成自变量的函数求复合函数y(2x1)5的导数解析 函数y(2x1)5由函数yu5和u2x1复合而成，yxyuux(u5)u(2x1)x5u425(2x1)4210(2x1)4，即yx10(2x1)4.导学号05
6、300157三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误函数f(x)(x1)(x2x1)的导数为()Ax2x1 B(x1)(2x1)C3x2D3x21答案 C解析 因为y(x1)(x2x1)x31，所以y(x31)3x2，故选C.导学号05300158四、导数计算中的数学思想方法导数的四则运算法则、基本初等函数的导数公式、复合函数的求导法则作为运算工具，常与
7、其他知识结合考查例如与导数的几何意义相结合，考查过某点的切线问题在解决这些问题的过程中，会涉及很多数学思想方法，例如整体思想，方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想已知函数f(x)x(x1)(x2)(x2015)，则f(0)_.答案(1232015)解析 依题意，设g(x)(x1)(x2)(x2015)，则f(x)xg(x)，f(x)xg(x)g(x)xg(x)，故f(0)g(0)(1232015)导学号05300159课堂典例探究导数的四则运算求下列函数的导数(1)yx43x25x6；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)yx1x1；(4)y2x1x2x22x1.导学号053
8、00160分析 由和、差、积、商的导数公式直接求导解析(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x(6)4x36x5.(2)解法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.解法2：yx36x211x6，y3x212x11.(3)解法1：yx1x1 x1x1x1x1x12x1x1x122x12.解法2：y1 2x1，y1 2x1 2x1 2x12x1x122x12.方法总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合
9、理的运算，注意运算中公式运用的准确性(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易(4)y2x1x2x22x1 2x1x22x1x2x4x22x1x22x12x122x24x22xx44x22x2x22x122x2x32x22x2x12.求下列函数的导数：(1)yx43x32x24x1；(2)yxcosx；(3)ysin2x；(4)ytanxcotx；(5)yx2lnx 1logax(a0且a1，x0)导学号05300161解析(1)y4x39x24x4.(2)yxcosxx(cosx)cosxxsinx.(3)y(sin2x)(2sinxcosx
10、)(2sinx)cosx2sinx(cosx)2cos2x2sin2x2cos2x.(4)y(tanxcotx)sinxcosx cosxsinx cos2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin2x 1cos2x 1sin2x cos2xcos2xsin2x4cos2xsin22x.(5)y2xlnxx21x0 1xlnalog2ax 2xlnxx lnaxln2x.复合函数的导数求下列函数的导数(1)ysin3x；(2)y 3x.分析 解答本题要严格按照复合函数求导方法进行解析(1)设ysinu，u3x，则yxyuuxcosu33cos3x.(2)设y u，u3x，则yxyuux
11、12 u(1)12 3x.导学号05300162方法总结 复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin2x)2cos2x，而(sin2x)cos2x；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求ysin2x3的导数，设ysinu，u2x 3，则yxyuuxcosu22cos2x3；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写求下列函数的导数：(1)ycos3x6；(2)yl
12、n(2x23x1)解析(1)设ycosu，u3x6，yxsinu33sin3x6.(2)设ylnu，u2x23x1，yxyuux1u(4x3)4x32x23x1.导学号05300163求导法则的综合应用求和Sn12x3x2nxn 1(x0，nN)分析 由通项公式nxn1可联想(xn)nxn1，Sn(12x3x2nxn1)(xx2x3xn).导学号05300164解析 当x1时，Sn12nnn12；当x1时，xx2x3xnxxn1x1，Sn12x3x2nxn1(xx2x3xn)(xn1xx1)xn1xx1xn1xx1x121n1xnnxn1x12.方法总结 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解
13、决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算求解时要注意需对x是否等于1分类讨论求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)3，f(0)0，f(1)3，f(2)0；(2)f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.导学号05300165解析(1)依题意可设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc，由f(0)3，得d3，由f(0)0，得c0.由f(1)3，f(2)0可建立方程组3a2b312a4b0，解得a1b3，所以f(x)x33x23.(2)由f(x)为一次函数知，f(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x
14、)2axb.将f(x)、f(x)代入方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程对任意x都成立，则需要ab，b2c，c1.解得a2，b2，c1.所以f(x)2x22x1.求函数y(x1)(x2)(x100)(x100)的导数错解 y(x1)(x2)(x100)(x1)(x2)(x100)(x1)(x2)(x100)(x2)(x3)(x100)(x1)(x2)(x100)无法求解或求导困难辨析(1)直接利用公式求导比较困难(2)忽视变形的应用导学号05300166正解 两边取对数得：lnyln(x1)ln(x2)ln(x100)两边对x求导得：yy 1x1 1x21x100y1x1 1x21x100(x1)(x2)(x100).导数的四则运算法则函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解课 时 作 业（点此链接）
