1、长沙市一中2023届高三月考试卷(二)数学时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合, 则A. B. C. D. 2. 一学习小组 10 名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是 2,4,5,11,14,15,39,41 50, 已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5, 则的值是A. 6B. 7 C. 8D. 93. 设非零复数在复平面内分别对应向量为原点, 则的充要条件是A. B. C. 为实数D. 为纯虚数4. 如图, 一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内
2、, 容器与地面所成的角为, 液面呈椭圆形, 椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是 10 和 16 , 则容器内液体的体积是A. B. C. D. 5.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有眼,阴鱼的头部有个阳殿,表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图形记为图乙中的正八边形,其中,则以下结论错误的是A. B. C. D. 在方向上的投影向量为6. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间 上
3、是增函数,则的取值范围为A. B. C. D. 7. 设, 则A. B. C. D. 8. 截角八面体是由正四面体经过适当的截角, 即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示, 有一个所有棱长均为的截角八面体石材,现将此石材切削、打磨、加工成球,则加工后球的最大表面积为A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 在正方体中,下列几种说法正确的有A. 为异面直线B. C. 与平面所成的角为D. 二面角的正切值为10. 已
4、知函数, 则A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴C. 函数的最小值为1,最大值为 2D. 函数在上单调递减11. 已知是抛物线的焦点, 是抛物线上的两点,为坐标原点,则A. 曲线的准线方程为B. 若, 则的面积为C. 若, 则D. 若的中点在的准线上的投影为, 则12. 设定义在上的函数与的导函数分别为和, 若, 且为奇函数, 则下列说法中一定正确的是A. 函数的图象关于对称B. C. D. 三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 设多项式, 则_.14. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_.15. 用符号表示不超过的最大整数 (称为的整数部
5、分), 如, 已知函数 有两个不同的零点, 若, 则实数的取值范围是_.16. 为双曲线的左、右焦点, 过点且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点,若为双曲线上一点,的内切圆圆心为,过作,垂足为,则_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 10 分)已知的内角的对边分别为, 满足(1)求角;(2) 是的角平分线, 若的面积为, 求的值. 18. (本小题满分 12 分)设数列满足, 且.(1) 求证: 数列为等差数列, 并求的通项公式;(2) 设, 求数列的前项和.19. (本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱中,.(1) 求证
6、:;(2) 若为的中点, 三棱锥的体积为, 线段上是否存在点, 使得二面角的大小为, 若存在, 求的值, 若不存在, 请说明理由.20.（本小题满分 12 分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初期,该款芯片生产有四道工序, 前三道工序的生产互不影响, 第四道是检测评估工序, 包括智能自动检测与人工抽检.(1) 在试产初期, 该款芯片的批次生产前三道工序的次品率分别为.求批次芯片的次品率;第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰, 合格的芯片进人流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为98%, 求工人在流水线进行人工抽检时, 抽检一个芯片
7、恰为合格品的概率;(2)该企业改进生产工艺后生产了批次的芯片. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片,并在某款新型手机上使用. 现对使用 这款手机的用户回访, 对开机速度进行满意度调查. 据统计, 回访 的 100 名用户中, 安装批次有 40 部, 其中对开机速度满意的有 30 人; 安装批次有 60 部, 其中对开机速度满意的有 58 人. 依据的独立性检验, 能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?附: 0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821. (本小题满分 12 分)已知椭圆过点, 点为其左顶点, 且的斜率为.(1)求的
8、方程;(2) 为椭圆上两个动点, 且直线与的斜率之积为为垂足. 求的最大值.22.（本小题满分 12 分)已知函数.(1) 若的极小值为 0 , 求实数的值;(2) 当时, 证明: 存在唯一极值点,且.长沙市一中2023届高三月考试卷(二)数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号12345678答案ACDBCBAB二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.题号9101112答案ABDB
9、CBCDAC三、填空题13. 54414. 15. 16. 2四、解答题17.【解析】(1) 由正弦定理得, 整理得, 由余弦定理得, 又, 则;(2) 由面积公式得, 解得, 又是的角平分线, 则 , 故., 则.18.【解析】 (1) 由已知得, 即,是以 4 为首项, 2 为公差的等差数列.,当时，当时，也满足上式，所以(2) .当为偶数时,当为奇数时,所以19.【解析】(1)三棱柱为直棱柱,平面. 又平面平面,平面, 所以.(2) 平面,两两垂直,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 设 .,所以.易知平面的一个法向量为 ,设平面的一个法向量为,所以,
10、 设,则令, 得, 所以,二面角的大小为,则,所以(负值舍去),所以存在点,当时, 二面角的大小为.20【解析】(1)批次芯片的次品率为设批次的芯片智能自功检测合格为事件, 人工抽检合格为事件,由已知得,则工人在流水线进行人工抽检时, 抽检一个芯片恰为合格品为事件,.(2) 零假设为: 芯片批次与用户对开机速度满意度无关联.由数据可建立列联表如下: (单位: 人)开机速度满意度芯片批次合计不满意10212满意305888合计4060100根据列联表得因此，依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005.21.【解析】 (1
11、) 由题意可知直线的方程为:, 即,当时, 解得, 所以,椭圆过点, 可得, 解得,所以的方程: .(2) 证明: 设,由题意得直线斜率不为零, 设, 代入到椭圆,由得，即所以由, 得, 即,所以,所以,所以,化简得,所以或(舍去),所以过定点,为垂足,在以为直径的圆上,的中点为,又,所以的最大值为.即的最大值为.22.【解析】 (1)的定义域为, 当时,无极值. 故.设的极值点为, 则, 易知为极小值点, 且. 则 , 令, 设, 则单调递减, 且, 故, 解得. 经检验,时满足题意, 即实数的值为1 .(2) 的定义域为,当时,由(1)知, 则,当时，单调递增，且，设，则, 故在单调递减, 即, 所以, 根据零点存在性定理, 知存在唯一的.此时, 设单调递增, 则 当时,单调递增, 且, 根据零点存在性定理, 存在唯一的, 此时有,由, 可得:,所以时, ,综上, 当时,存在唯一极值点, 为极小值点, 且 .
