1、1.2 椭圆的简单性质A组基础巩固1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4 D9解析：利用椭圆的标准方程及性质求解由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.答案：B2已知kb0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意可得|PF2|F1F2|，22c.3a4c.e.答案：C5以F1(1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案：C6椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取
2、值范围是_解析：由题意2b2c，即bc，即c，a2c2c2，则a22c2.，0eb0)的一个焦点F(2,0)，点A(2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|PF|8，则椭圆E的离心率的取值范围是_解析：记椭圆的左焦点为F1(2,0)，则|AF1|1.|PF1|PA|AF1|，2a|PF1|PF|PA|AF1|PF|189，即a.|PF1|PA|AF1|，2a|PF1|PF|PA|AF1|PF|817，即a.c2，即e，椭圆E的离心率的取值范围是.答案：9已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解析：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为
3、1(ab0)由题意得：解得椭圆方程为y21；若椭圆的焦点在y轴上，设方程为1(ab0)，由题意得解得椭圆方程为1.综上所述，椭圆的方程为y21或1.10已知椭圆C：1(ab0)的焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点M，使0，求椭圆的离心率的取值范围解析：设点M(x，y)，使0，由于F1(c,0)，F2(c,0)，(cx，y)，(cx，y)，(cx)(cx)(y)20，x2y2c2.又点M(x，y)在椭圆1上，由，消去y，并整理得(a2b2)x2a2(c2b2)，x20，即c2b22c2a20，即e2，e，1)B组能力提升1过椭圆C：1的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆C交于A、B两点，则
4、等于()A. B.C. D.解析：由已知得直线l：y(x1)联立，可得A(0，)，B(，)，又F(1,0)，|AF|2，|BF|，.答案：A2过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个交点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：由题意，知点B的横坐标是c，故B的坐标为，k，B.又A(a,0)直线AB的斜率k1e.由k，解得eb0)过点M，且两个焦点的坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)(1)求E的方程；(2)设A，B，P为E上三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值解析：(1)由已知得
5、2a|MF1|MF2|2，a.又c1，b1，E的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不为0时，可设直线AB：xmyt，由，得(m22)y22mtyt220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，设P(x，y)，由，得四边形OAPB为平行四边形，yy1y2，xx1x2my1tmy2tm(y1y2)2t.点P在椭圆E上，1，即1，4t2m22，此时4m2t24(m22)(t22)8(m22t2)0，|AB| ，又原点O到直线xmyt的距离d，四边形OAPB的面积S2SOAB2|AB|d.当AB的斜率为0时，直线AB的方程为y，此时四边形OAPB的面积S2，四边形OAPB
6、的面积为定值.6设F1、F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解析：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2.所以椭圆E的离心率e.(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.