1、高三数学（理科）2022-10 阶考第 1页共 2 页树德中学高 2020 级高三上学期 10 月阶段性测试数学试题（理科）命题人：陈秀丽一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果复数 z 满足i1z ，那么 z 的最大值是（）A0B1C 2D2i2设|22Nxx，|11Mx axa，若 M 是 N 的真子集，则实数 a 的取值范围是()A 11a B 11aC 11a D 11a 3已知 P 是ABC 所在平面内的一点，若CBPBPA，其中R，则点 P 一定在（）AAC 边所在的直线上BBC 边所在的直线上CA
2、B 边所在的直线上DABC 的内部4.设正项等比数列 na的前 n 项和为nS，若321238Saa，则公比 q （）A2B32C2 或32D2 或 325下列判断，不正确的选项是（）A若f ax是奇函数则()f x 的图象关于点(,0)a对称B曲线221 2yfxfx的图象关于直线12x 对称.C函数()f x 定义在 R 上的可导函数，若()f x 为偶函数，则其导函数()fx 为奇函数D若函数()=(2)f xfx，则函数()f x 图像关于=1x轴对称.6.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学
3、抽象指标值为 4，乙的数学抽象指标值为 5，则下面叙述错误的是（）A甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值7已知过点,0A a作曲线1exyx的切线有且仅有1条，则a（）A 3B3C 3 或1D3 或18某市高三理科学生有15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布2(90,)N，已知(80100)0.4P，若按成绩采用分层抽样的方式抽取 100 份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取的份数为（）A60B40
4、C30D159设方程 2xx20 和方程 log2xx20 的根分别为 p 和 q，设函数 f(x)(xp)(xq)，则()Af(2)f(0)f(3)Bf(0)f(2)f(3)Cf(3)f(2)f(0)Df(0)f(3)f(2)10已知奇函数()3sin()cos()(0,0)f xxx 的周期为 ，将函数()f x 的图像向右平移 6 个单位长度，可得到函数()yg x的图像，则下列结论正确的是（）A函数()2sin 26g xxB函数()g x 在区间,6 3上单调递增C函数()g x 的图像关于直线12x 对称D当0,2x 时，函数()g x 的最大值是311.如图，在棱长为 2 的正四
5、面体 ABCD 中，点 N，M 分别为 ABC和ABD的重心，P 为线段 CM 上一点（）A APBP的最小为 2B若 DP平面 ABC，则64CPCMC若 DP平面 ABC，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为 92D若 F 为线段 EN 的中点，且 DPMF，则25MPMC12已知12,F F 分别为双曲线22:1412xyC 的左右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C的右支交于,A B 两点（其中点 A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF FBF F的内心，则 MENE的取值范围是（）A4 34 3,33B4 3 4 3,33C3 3 3 3,55D55,
6、33二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验收集到的数据如表:由最小二乘法求得回归方程为 y=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据 a 模糊不清，请你推断出该数据的值为_.14已知关于 x，y 的不等式组202400 xyxyx 表示的平面区域为 M，在区域 M 内随机取一点00,N xy，则00|3412|xy的最小值15数列 na满足12a，2(1)sin 4nnnnaa ，则 na前 40 项和为_零件数 x1020304050加工时间 y/min62a758189高三数学（理科）
7、2022-10 阶考第 2页共 2 页16已知函数 222sin 223,R216,xaxafxaxaxaxa，若 fx 在区间0,内恰好有 7 个零点，则 a 的取值范围是三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知四边形 ABCD 是由ABC 与ACD 拼接而成的，且在ABC 中，2222ACABBCABBCAB（1）求角 B 的大小；（2）若75sin12146ACDADCADBC，求 AB 的长18.在如图所示的五面体 ABCDFE 中，面 ABCD是边长为 2 的正方形，AE 平面 ABCD，/DF AE，且112DFAE，N 为
8、BE 的中点，M为 CD 中点，（1）求证：/FN平面 ABCD；（2）求二面角 NMFD的余弦值；192022 年 6 月 17 日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量 8 万余吨“福建舰”的建成、下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有 100 名学生参赛，成绩均在区间50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）（1）学校计划对成绩不低于平均分
9、的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；（2）知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有 5 个备选项，其中有且仅有 2 项是正确的得分规则为：所选选项中，只要有错误选项，得 0 分；弃答得 1 分；仅选 1 项且正确，得 3 分；选 2 项且正确得 6 分某学生对其中一道双项选择题能确定其中 1 个选项是错误的，为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略：弃答；从剩下 4 个选项中任选 1 个作答；从剩下 4 个选项中任选 2 个作答20在平面直角坐标系Oxy 中，动圆 P 与圆22145:204Cxyx内切，且与圆2223:204Cxyx外切
10、，记动圆 P 的圆心的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程；（2）过圆心2C 的直线交轨迹 E 于,A B 两个不同的点，过圆心1C 的直线交轨迹 E 于,D G 两个不同的点，且 ABDG，求四边形 ADBG 面积的最小值.21已知函数 2ln2af xxx（Ra）.（1）当1a 时，对于函数 3lnG xf xx，存在12,1,4x x，使得 12G xG xm成立，求满足条件的最大整数 m；（ln 20.693）（2）使不等式2()3(2)ln12af xxxkxxxb 对任意1,ex 恒成立时最大的 k 记为 c，求当1,2b时，bc的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，
11、如果多做，则按所做的第一题记分.22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为23xtyt（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 极坐标方程为：2sin6cos.（1）求直线 l 普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点2,0M的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，求+AMBM 的值.23设函数 23f xx（1）解不等式 21f xf x；（2）当 xR 时，221fxxa x恒成立，求实数 a 的取值范围高三数学（理科）2022-10 阶考第 3页共 2 页树德中学高 2020 级高三数学阶考试题（理科)参考答案1-6CDAAB
12、D7-12 CCACDB13.6814.415.30 216.8 1711,3,36317.（1）2222ACABBCABBCAB，整理可得，BC2+AB2AC2BCAB，在ABC 中，由余弦定理可得 cosB222122BCABACAB BC，0B，B3 6 分（2）在ADC 中，由正弦定理sinsinACADDDCA，可得15sin1467AC，可得 AC7，9 分在ABC 中由余弦定理 AC2BC2+AB22ABBCcosB，可得 74+AB22122AB，可得 AB22AB30，解得 AB3，（负值舍去）12 分18.（1）法一：证明：过 N 作 NHAB于 H，N为 BE 的中点，1
13、2NHAE/DF AE，且112DFAE四边形 NHDF 为平行四边形，FNDH，FNABCD面且HDABCD 面，/FN平面 ABCD；6 分法二：因为 AE平面 ABCD，,AB AD 平面 ABCD，所以,AEAB AEAD，因为 ABAD，所以,AE AB AD 两两垂直，所以以 A 为原点，,AB AD AE 所在的直线分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为平面 ABCD是边长为 2 的正方形，/DF AE，且112DFAE，N 为 BE 的中点，所以 0,0,0A，2,0,0B，0,2,0D，0,0,2E，1,0,1N，1,2,0M，0,2,1F，所以1,2,0N
14、F ，因为平面 ABCD的法向量可以为0,0,1n，所以0NF n，即 NFn，又NF 平面 ABCD，所以/NF平面 ABCD；6 分（2）因为1,2,0NF ，1,0,1MF ，设平面 MNF 的法向量为,mx y z，则200m NFxym MFxz ，令1y ，则2xz，所以2,1,2m，8 分因为 AE平面 ABCD，/DF AE，所以 DF 平面 ABCD，因为 AD 平面 ABCD，所以 DFAD，因为,ADDC DCDFDDCDF，平面 MFD，所以 AD 平面 MFD，所以平面 MFD 的法向量可以为0,1,0u，设二面角 NMFD为，由图可知二面角 NMFD为钝角，则1co
15、s3m umu ，11 分所以二面角 NMFD的余弦值为13；12 分19.（1）由频率分布直方图可知10 0.0060.0080.0260.0421a，解得0.018a 2 分平均分的估计值为 0.06550.26650.42750.18 850.08 9574.6，所以受奖励的分数线的估计值为 74.6 5 分（2）策略弃答的得分为 1 分；6 分设策略的得分为 X，X 的可能值为 0，3，1214C1(0)C2P X，1214C1(3)C2P X，则 X 的分布列为：X03P0.50.5期望为0 0.53 0.51.5E X ；9 分设策略的得分为Y，Y 的可能值为 0，6，2224C1
16、(6)C6P Y，5(0)1(6)6P YP Y 则Y 的分布列为：Y06P5616期望为 5106166E Y ，11 分显然()1()E YE X，所以应选策略12 分20（1）设动圆 P 的半径为 R，圆心 P 的坐标为,x y由题意可知：圆1C 的圆心为11,0C，半径为 72；圆2C 的圆心为2 1,0C，半径为 12.动圆 P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切，112122724212PCRPCPCC CPCR 2 分动圆 P 的圆心的轨迹 E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22221(0)xyabab，其中224,22,2,3acab，从而轨迹 E 的方程为：221
17、43xy 4 分（2）当直线 AB 的斜率不存在，或为 0 时，四边形 ADBG 面积2112=2622bSaa长轴长 通径长 5 分当斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为112210,yk xkA x yB xy，则11,M xy由221143yk xxy可得：22224384120kxk xk，221212228412,4343kkxxx xkk 7 分高三数学（理科）2022-10 阶考第 4页共 2 页222212112114ABkxxkxxx x22222222121841214434343kkkkkkk.1,DGABDGkk，同理可得：2212134kDGkABDG，四边
18、形 ADBG 面积22222222121121721112243344334kkkSABDGkkkk9 分（法一）22222222272172128864943 3443342kkSkkkk 等号当且仅当224334kk时取，即1k 时，min28849S 12 分（法二）令21,0,1ktkt ，则22227272721112111491224tSttttt 当112t，即1k 时，min288649S 12 分21.（1）由已知可得 3lnG xf xx，2ln2af xxx，1a ，所以 212ln2G xxx，222xG xxxx，当12x时，0Gx，函数 G x 在1,2上单调递减，
19、当24x时，0Gx，函数 G x 在 2,4 上单调递增，2 分又 112G，484ln 2G，21 ln 2G，因为ln 20.693，所以 214GGG所以函数 G x 在1,4 上的的最大值为84ln 2，最小值为1ln 2，因为存在12,1,4x x，使得 12G xG xm成立，所以 maxminG xG xm，所以73ln 2m，又ln 20.693，故 73ln 24.921，所以满足条件的最大整数 m 的值为 4；4 分（2）因为0 x，所以原不等式可变为2()3ln1lnln1221af xxxxxbxxxbkxx，令lnln1()1xxxbg xx，2ln()xxbg xx
20、，令()lnp xxxb，则11()1xp xxx，1,ex 时，()0p x，()p x 递增，min()(1)1p xpb，max()(e)e 1p xpb，6 分当(1)0p，即1b 时，在1,e上()0g x，()g x 是增函数，min()(1)cg xgb，22cbb，当(e)0p，即e1,2b 时，()0g x，()g x 递减，min2()(e)ebcg xg，214e,2eeebbcb；8 分当(1)(e)0pp时，()p x 在(1,e)上递增，存在唯一的实数0(1,e)x，使得0()0p x，00ln0 xxb，00lnbxx，则当0(1,)xx时，()0p x，()0g
21、 x，()g x 递减，0(,e)xx时，()0p x，()0g x，()g x 递增，000min0000lnln11()()1lnxxxbcg xg xxxx，00000011lnlnbcxxxxxx，00lnbxx，令()lnh xxx，1()1h xx，(1,e)x 时，()0h x，()h x 递增，所以(1,e1)b 时，0(1,e)x，所以0011(2,e)ebcxx，10 分综上，42,2ebc 12 分22.（1）由于23xtyt，消 t 得 23yx，即320 xy，2 分由2sin6cos得22sin6cos，曲线 C 的直角坐标方程是：26yx.4 分（2）将直线 l：
22、23xtyt 化为标准形式32212xtyt，代入26yx，2136 222tt并化简得212 3480tt.7 分6240，设 A，B 对应参数为 1t，2t，1 2480t t ，所以2112|4 39|AMBMtttt.10 分23.（1）22|3|211|1xfxfxx原不等式可化为3223211xxx 或312223211xxx 或1223211xxx ，解得 x 或1142x或12x，即原不等式的解集为1,)4.5 分（2）当 xR 时，221fxxa x，即2|2(2)3|1|xxa x，当1x 时，10，此时 aR，当1x 时，22|2(2)3|2(1)1|12|1|1|1|1|xxxaxxxx，因为12|1|2 2|1|xx，当且仅当12|1|1|xx，即212x 时取等号，所以2 2a.综上所述，实数 a 的取值范围为(,2 2.10 分