1、模块综合评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1已知命题p：任意xR，x2x0，则綈p为(B)A任意xR，x2x0 B存在xR，x2x0C存在xR，x2x0 D任意xR，x2x0解析：全称命题的否定是特称命题2双曲线1的焦距是(C)A4 B2 C8 D与m有关解析：依题意，a2m212，b24m2，所以c4.所以焦距2c8.3设p：1x1，则p是q成立的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当1x2时，22x1，得x0，qp，故选A.4椭圆1与椭圆1有(D
2、)A相同的短轴 B相同的长轴 C相同的离心率 D以上都不对解析：对于1，因为a29或a22 Ba2 Ca2 D2ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为(B)A. B. C. D.解析：由题意得，点P的坐标为(c，)或(c，)，因为F1PF260，所以，即2acb2(a2c2)，所以e22e0，解得e或e(舍去)11已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)A. B. C. D.解析：设AB1，则AA12，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0
3、,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，(1,1,0)，(0,1，2)，(0,1,0)，设n(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n(2,2,1)，设CD与平面BDC1所成角为，则sin|.12如图，等腰梯形ABCD中，ABCD且AB2AD，设DAB，若以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则(B)A当增大时，e1增大，e1e2为定值B当增大时，e1减小，e1e2为定值C当增大时，e1增大，e1e2增大D当增大时，e1减小，e1e2减小解析：连接DB，AC，由题意，可知双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2
4、.设|AD|BC|t，则|AB|2t，|CD|2t2tcos，|AC|BD|t，所以e1，e2，所以e1e21.又，故当增大时，cos减小，e1减小，故选B.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13“a，G，b三个数成等比数列”是“G”的既不充分也不必要条件解析：若a，G，b三个数成等比数列可得G，因此充分性不成立；而如果G，则当aG0，b1时，a，G，b三个数不成等比数列，必要性不成立14已知空间三点的坐标为A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)，若A，B，C三点共线，则pq5.解析：由已知得k，所以(p1，2，
5、q4)k(1，1,3)，得到p3，q2，所以pq5.15设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|1，则cosF1PF2.解析：椭圆焦点在y轴上，a24，b23，c1，又P在椭圆上，所以|PF1|PF2|4，又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|，又|F1F2|2c2，所以cosF1PF2.16设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则直线的斜率等于1.解析：设直线l的方程为yk(x1)，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得，xAxB，于是xQ1，把xQ代
6、入yk(x1)，得到yQ，根据|FQ|2，解出k1.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知命题p：不等式|x1|m1的解集为R，命题q：f(x)(52m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围解：由于不等式|x1|m1的解集为R，所以m10，m1，m2.即命题p：m1，命题q：m2.又由于p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假当p真q假时应有无解；当p假q真时应有得1m2.故实数m的取值范围是1mb0)的离心率为，且a22b.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：xym0与椭圆交于A、B两点，且线段AB
7、的中点在圆x2y25上，求m的值解：(1)由题意得解得故椭圆的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)联立直线与椭圆的方程得即3x22mxm220，所以x0，y0x0m，即M，又因为M点在圆x2y25上，所以225，解得m3.19(本小题12分)已知直线l：y2x16，抛物线C：y2ax(a0)(1)若抛物线C的焦点F在直线l上，试确定抛物线C的方程；(2)若ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，ABC的重心恰为抛物线C的焦点F，求直线BC的斜率解：(1)直线l与x轴的交点为(8,0)，因此抛物线C的焦点为F(8,0
8、)，所以a32，所求抛物线的方程为y232x.(2)因为点A的纵坐标为8，所以A(2,8)又F(8,0)为ABC的重心，设B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有8，0，则y2y38，kBC4，即直线BC的斜率为4.20(本小题12分)如图，在平面内直线EF与线段AB相交于点C，BCF30，且ACCB4，将此平面沿直线EF折成60的二面角EF.又BP平面，点P为垂足(1)求ACP的正弦值；(2)求异面直线AB与EF所成角的正切值解：如图，在平面内，过点P作PMEF，点M为垂足，连接BM，则BMP为二面角EF的平面角以点P为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.(1)在RtBMC中，由
9、BCM30，CB4，得CM2，BM2.在RtBMP中，由BMP60，BM2，得MP1，BP.故P(0,0,0)，B(0,0，)，C(1，2，0)，M(1,0,0)由ACM150，AC4，得A(1，4，0)所以(1,2，0)，(2，2，0)，则cosACP，所以sinACP.(2)AB与EF所成的角即AB与CM所成的角又(1，4，)，(0，2，0)，所以cos，所以sin，tan，.即AB与EF所成角的正切值为.21(本小题12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所
10、成的角为，当棱柱的高变化时，求sin的最大值解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1h(h0)，则有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，(1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因为异面直线A1B与B1C1所成的角为60，所以cos60，即，得，解得h1，所以棱柱的高为1.(2)由D是BB1的中点，得D，于是.设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则由n，n，可得即令z1，则xh，y0，所以可取n(h,0,1)，于是sin|cos，n|.令f(h).因为h2929，当且仅当h2，即h时，等号成立，所以f(h)，故当h时，sin
11、取最大值为.22(本小题12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l：ykxm(m0)与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)若线段AB中点的横坐标为，求k的值；(3)若以弦AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点M，则直线l是否经过定点(除右顶点外)？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由解：(1)依题意，有，即ac，所以bc.又椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即bc2，故bc，a2.所以椭圆C的方程为1.(2)联立直线l的方程与椭圆C的方程，即消去y，得(2k21)x24kmx2m240.设A(x1
12、，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，可得x1x2，x1x2.由题意x1x2m，因为m0，所以1，即2k24k10，解得k1或k1.(3)椭圆的右顶点为M(2,0)若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则MAMB.则0，所以(x12)(x22)y1y20，即x1x22(x1x2)4y1y20.而y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，故x1x22(x1x2)4y1y2(k21)x1x2(km2)(x1x2)m24(4k28km3m2)0，所以4k28km3m20，即(2km)(2k3m)0，解得m2k或m.所以直线l经过定点(2,0)，又点(2,0)为椭圆的右顶点，不合题意，故直线l恒过定点.
