1、2016-2017学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合M=x|2x4，N=x|x（1x）0，则CMN=（）A（，0）1，+B（，0）1，2C（，01，2D（，01，+2已知向量=（4，2），=（x，3），且，则x等于（）A9B6C5D33从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4
2、，8，16，324设xR，i是虚数单位，则“x=3”是“复数z=（x2+2x3）+（x1）i为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的 y值恰好是1，则“？”处应填的关系式可能是（）Ay=2x+1By=3xCy=|x|Dy=logx6若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2cm2B cm3C3cm3D3cm37已知a=，b=，c=，则a、b、c大小关系是（）AacbBbacCcabDabc8过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦
3、长为6的直线方程是（）A3x4y+20=0B3x4y+20=0或x=4C4x3y+8=0D4x3y+8=0或x=49函数y=Asin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）Ay=4sin（x+）By=4sin（x）Cy=4sin（x）Dy=4sin（x+）10函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）ABCD11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）ABC3D212若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件M、N都在函数y=f（x）的图象上；M、N关于原点对称则称点对M，N为函数y=
4、f（x）的一对“友好点对”（注：点对M，N与N，M为同一“友好点对”）已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对二填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13函数y=ln（1+）+的定义域为14如图所示，分别以A，B，C为圆心，在ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么ABC的面积是15若变量x、y满足约束条件，则z=x2y的最大值为16把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示
5、的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an若an=902，则n=三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如图（单位：cm）（1）求a的值（2）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值（3）在身高为140160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150160之间的概率18已知函数f（x）=，xR（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量=（
6、1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离20已知数列an的前n项和为Sn，且（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=log4（1Sn+1）（nN+），求使成立的最小的正整数n的值21设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆方程（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当OAB面积最大时，求|AB|22已知f（x）是定义在（0，+）上的函
7、数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0（1）证明f（x）在（0，+）上为增函数；（2）若f（3）=1，集合A=x|f（x）f（x1）+2，AB=，求实数a的取值范围2016-2017学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合M=x|2x4，N=x|x（1x）0，则CMN=（）A（，0）1，+B（，0）1，2C（，01，2D（，01，+【考点】补集及其运算【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补
8、集即可【解答】解：由M中不等式变形得：2x4=22，即x2，M=（，2，由B中不等式变形得：x（x1）0，解得：0x1，即N=（0，1），则MN=（，01，2故选：C2已知向量=（4，2），=（x，3），且，则x等于（）A9B6C5D3【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，2x12=0，解得x=6故选B3从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【考点
9、】系统抽样方法【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B4设xR，i是虚数单位，则“x=3”是“复数z=（x2+2x3）+（x1）i为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由x=3能得到复数z=（x2+2x3）+（x1）i
10、为纯数，反之，复数z=（x2+2x3）+（x1）i为纯数得到x=3，则答案可求【解答】解：由x=3，得x2+2x3=（3）2+2（3）3=0，x1=31=4而由，得x=3所以“x=3”是“复数z=（x2+2x3）+（x1）i为纯数”的充要条件故选C5如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的 y值恰好是1，则“？”处应填的关系式可能是（）Ay=2x+1By=3xCy=|x|Dy=logx【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出框图中？处的关系式【解答】解：当x=7时，x0，不满足x0，x=x2=5，不满足x0，x=x2=3，不满足x0，x=x2=1，不满足x0
11、，x=x2=1，此时满足x0，即x=1时，y=2x+1=2（1）+1=1满足题意，故？处的关系式是y=2x+1故选：A6若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2cm2B cm3C3cm3D3cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2故这个几何体的体积是（1+2）2=（cm3）故选：B7已知a=，b=，c=，则a、b、c大小关系是（）AacbBbacCcab
12、Dabc【考点】对数值大小的比较【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0a=b=1，c=1，则a、b、c大小关系是：ab1故选：D8过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A3x4y+20=0B3x4y+20=0或x=4C4x3y+8=0D4x3y+8=0或x=4【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d=4，即可求得直线斜率，求得直线方程【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=
13、4，圆心到直线距离=|04|=4，成立；若斜率存在y8=k（x4）即：kxy4k+8=0则圆心到直线距离d=4，解得k=，综上：x=4和3x4y+20=0，故选B9函数y=Asin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）Ay=4sin（x+）By=4sin（x）Cy=4sin（x）Dy=4sin（x+）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】观察函数的图象可得A，由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求，再把函数图象上的最值点代入结合已知的范围可得的值，即可得解【解答】解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=4，观察图象可得
14、函数的周期T=16，=，又函数的图象过（2，4）代入可得sin（+）=1，+=2k+，|，=，函数的表达式y=4sin（x+）故选：A10函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=，得到f（）0，排除C【解答】解：f（x）=（x+）cos（x）=（x）cosx=f（x），函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=时，f（）=（）cos=0，故排除C，故选：D11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）ABC3
15、D2【考点】抛物线的简单性质【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，=3，=，又|MF|=p=4，|NQ|=，|NQ|=|QF|，|QF|=故选：A12若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件M、N都在函数y=f（x）的图象上；M、N关于原点对称则称点对M，N为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对M，N与N，M为同一“友好点对”）已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对【考点】进行简单的合情推理【分析】根据题意
16、：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x0）交点个数即可【解答】解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x（x0）由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象及函数f（x）=log3x（x0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个故选：C二填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13函
17、数y=ln（1+）+的定义域为（0，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求【解答】解：由题意得：，即解得：x（0，1故答案为：（0，114如图所示，分别以A，B，C为圆心，在ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么ABC的面积是6【考点】模拟方法估计概率【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
18、阴影部分的面积S1=22=2点P落在区域M内的概率为P=故S=6，故答案为：615若变量x、y满足约束条件，则z=x2y的最大值为3【考点】简单线性规划【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x2y的最大值【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=1时，z=x2y取最大值3故答案为：316把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an若an=902，则n=436【考点】进行简单的演绎推理；数列的
19、概念及简单表示法【分析】利用累加法，求出新数列每一行的第一个数的通项公式即可得到结论【解答】解：设新新数列每一行的第一个数构成数列bn，则b1=3，b2=6，b3=11，b4=18，b5=27，则b2b1=3，b3b2=5，b4b3=7，b5b4=9，bnbn1=2（n1）+1=2n1，等式两边同时相加得bnb1=3+6+（2n1）=（n+1）（n1）=n21，即bn=b1+n21=n2+2，假设an=902所处的行数为k行，则由n2+2902，得n2900，解得n30，an=902位于第30行，而且为第30行的第1个数，数列an的前29行共有1+2+3+29=个，则an=902位于435+1
20、=436个，即n=436故答案为：436三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如图（单位：cm）（1）求a的值（2）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值（3）在身高为140160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150160之间的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【分析】（1）根据0.01+0.02+a+0.04=0.1，求出a的值即可；（2）根据中位数的左边和右边的直方图的面积相等可求中位数；计算每个小矩形的面积乘以小矩
21、形底边中点的横坐标之和可得平均数（3）根据频数=频率样本容量，可以求出身高介于140150的学生人数和身高介于150160的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在140160的学生中随机抽取2名学生的事件个数及至少有一个人身高在150160之间的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案【解答】解：（1）a=0.10.010.020.04=0.03；（2）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，0.1+0.3+0.042.5=0.5所以中位数的估计值为162.5平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和则平均数的估计值为1450.1
22、+1550.3+1650.4+1750.2=162，（3）这20名学生中，身高在140150之间的有2个，分别为A，B，身高在150160之间的有6人，从这8人中任选2个，有=28种选法，两个身高都在140150之间的选法有1种选法，所以至少有一个人在150160之间的选法有281=27，故至少有一人的身高在150160之间的概率为18已知函数f（x）=，xR（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值【考点】正弦定理；平行向量与共线向量；二倍角的正弦；二倍
23、角的余弦；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（2x）1，可得函数的最小值为2，最小正周期为（2）ABC中，由f（C）=sin（2C）1=0，求得C=再由向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线可得sinB2sinA=0，再由B=A 可得sin（A）=2sinA，化简求得A=，故B=再由正弦定理求得a、b的值【解答】解：（1）由于函数f（x）=sin2x=sin（2x）1，故函数的最小值为2，最小正周期为=（2）ABC中，由于f（C）=sin（2C）1=0，可得2C=，C=再由向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线可得sinB2sinA=0再结
24、合正弦定理可得b=2a，且B=A故有 sin（A）=2sinA，化简可得 tanA=，A=，B=再由可得，解得 a=，b=219如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三
25、角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，V=，AB=，PB=作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离20已知数列an的前n项和为Sn，且（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=log4（1Sn+1）（nN+），求使成立的最小的正整数n的值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）当n=1时，a1=S1，当n2时，an=Sn
26、Sn1，结合等比数列的定义和通项公式计算即可得到所求；（）运用等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得bn，再由裂项相消求和方法，求得Tn，解不等式即可得到所求最小值【解答】解：（）当n=1时，a1=S1，S1+a1=1，解得a1=，当n2时，an=SnSn1=1an（1an1），即为an=an1，由a1+a2+a2=1，可得a2=，则an=a2（）n2=（）n2=3（）n，对n=1也成立，可得数列an的通项公式为an=3（）n；（）bn=log4（1Sn+1）=log41=log4=（n+1），=+=+=，成立，即为，解得n2016，则使成立的最小的正整数n的值为201621设椭圆的左焦点为
27、F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆方程（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当OAB面积最大时，求|AB|【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆的离心率和通径长及a2b2=c2联立求出a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长【解答】解：（1）由，又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得，且a2b2=c2，解得a2=2，b2
28、=1所以椭圆方程为；（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组，消去y得关于x的方程（1+2k2）x2+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有0，即64k224（1+2k2）=16k2240，得由根与系数的关系得故=又因为原点O到直线l的距离，故OAB的面积令，则2k2=t2+3所以，当且仅当t=2时等号成立，即时，22已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0（1）证明f（x）在（0，+）上为增函数；（2）若f（3）=1，集合A=x|f
29、（x）f（x1）+2，AB=，求实数a的取值范围【考点】抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质【分析】（1）利用单调性的定义，通过f（xy）=f（x）+f（y），以及当x1时，f（x）0，即可证明f（x）在（0，+）上为增函数；（2）利用函数的单调性通过f（3）=1，集合A=x|f（x）f（x1）+2，求出集合A，通过集合，求出集合B，结合AB=，对a与0的大小分类讨论，求出实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）在（0，+）上为增函数，证明如下：设0x1x2+，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，可知：，因此f（x）在（0，+）上为增函数（2）f（3）=1f（9）=2f（x）f（x1）+2f（x）f（9x9），从而，在已知条件中，令x=y=1，得f（1）=0 a=0时 B=x|x1，满足 AB=a0时 AB=a0时，不等式（ax2）（x+1）0的解集在两个负数之间，满足 AB=综上，a的取值范围是12分2017年3月22日