1、3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离知识导图学法指导1.对于点到直线的距离公式，应注意其只适用于直线的一般式方程2用待定系数法求直线的方程时，注意讨论斜率的存在性3应用两条平行直线间的距离公式时，两直线方程应化成一般式且x，y对应的系数分别相等高考导航高考较少单独考查点到直线、两条平行直线间的距离公式，若单独考查，则一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.知识点点到直线、两条平行线间的距离1点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.2两条平行直线间的距离直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例如，求P0(x0，y0)到直线yk
2、xb的距离，应先把直线方程化为kxyb0，得d.两条平行线间的距离是分别在两条直线上的两点间距离的最小值；可化为一条直线上的点到另一条直线的距离；只有两条直线方程的系数相同时才可应用两条平行直线间的距离公式d.小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线yb(b0)的距离dy0b.()(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xa(a0)的距离d|x0a|.()(3)两直线xym与xy2n的距离为.()答案：(1)(2)(3)2原点到直线x2y50的距离为()A1B.C2 D.解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x2y50的距离
3、d，故选D.答案：D3过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：所求为过点A(1,2)，且垂直OA的直线，所以k，故所求直线为y2(x1)，即x2y50.故选A.答案：A4求两平行直线l1：2x3y80，l2：2x3y100之间的距离d_.解析：方法一在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1l2，所以点P到直线l2的距离即为l1与l2之间的距离，于是d.方法二因为l1l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d.答案：类型一点到直线的距离例1(1)求点P(3，2)到下列直线的距离：yx；y6；x4.(2)求过点A(1,2)，且与原点的距
4、离等于的直线方程【解析】(1)直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.(2)因为所求直线方程过点A(1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，又原点到直线的距离等于，所以，解得k7或k1.故直线方程为xy10或7xy50.先将直线方程化为一般式，然后再套用公式求距离特殊的直线可以利用几何意义求解，也可以直接代入求解方法归纳应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式(2)点P在直线l上时，
5、点到直线的距离为0，公式仍然适用(3)直线方程AxByC0中，A0或B0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解跟踪训练1求垂直于直线x3y50，且与点P(1,0)的距离是的直线l的方程解析：设与直线x3y50垂直的直线l的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3xym0的距离d.所以|m3|6，即m36，得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.设出直线l的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解类型二两平行线间的距离例2求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程【解析】方法一设所求直线的方程为5x12yC0.在直线
6、5x12y60上取一点P0，则点P0到直线5x12yC0的距离为，由题意，得2，所以C32，或C20.故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线的方程为5x12yC0，由两平行直线间的距离公式得2，解得C32，或C20.故所求直线的方程为5x12y320，或5x12y200.利用平行先设直线方程，再由距离求直线方程方法归纳求两平行线间的距离一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)两条平行线
7、l1：3x4y10和l2：6x8y15间的距离是_；(2)与直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20 D2xy0或2xy20解析：(1)l1，l2方程分别化为l1：3x4y100，l2：3x4y0，故l1与l2之间的距离d.(2)根据题意可设所求直线方程为2xyc0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得c0或c2.故所求直线方程为2xy0或2xy20.故选D.答案：(1)(2)D当系数不对应相等时，应化成系数对应相等，再利用公式求解类型三距离公式的综合应用例3已知正方形ABCD的中心M(1,0)和一边CD所在的直线方程为x3y50，求其他三边所在的直
8、线方程【解析】因为ABCD，所以可设AB边所在的直线方程为x3ym0.又因为ADCD，BCCD，故可设AD，BC边所在的直线方程为3xyn0.因为中心M(1,0)到CD的距离为d，所以点M(1,0)到AD，AB，BC的距离均为，由，得|n3|6，解得n9或3.由，得|m1|6，解得m7或5(舍去)，所以其他三边所在的直线方程分别为x3y70,3xy90,3xy30.利用正方形的平行关系设直线方程，再利用距离公式求直线方程方法归纳常见的距离公式应用问题的解题策略(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，
9、通过配方求最值(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解跟踪训练3求经过两直线l1：x3y40与l2：4x3y60的交点，且和点A(3,1)的距离为5的直线l的方程解析：由解得，即直线l过点B.(1)当l与x轴垂直时，方程为x2，点A(3,1)到l的距离d|32|5，满足题意(2)当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，由点A到l的距离为5，得
10、5，解得k，所以l的方程为xy0，即4x3y100.综上，所求直线方程为x2或4x3y100.先联立方程求交点坐标，再利用距离公式求直线方程，注意讨论斜率基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1点(1,2)到直线y2x1的距离为()A.B.C. D2解析：直线y2x1即2xy10，由点到直线的距离公式得d，故选A.答案：A2已知点(3，m)到直线xy40的距离等于1，则m等于()A. BC D.或解析：由1，解得m或，故选D.答案：D3已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为()A6或 B或1C或 D0或解析：，即|3m5|7m|，解
11、得m6或.答案：A4到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A3x4y40B3x4y40或3x4y20C3x4y160D3x4y160或3x4y140解析：在直线3x4y10上取点(1,1)设与直线3x4y10平行的直线方程为3x4ym0，则3，解得m16或m14，即所求直线方程为3x4y160或3x4y140.答案：D5过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，1)距离相等的直线的方程是()Ay1B2xy10Cy1或2xy10D2xy10或2xy10解析：kAB2，过P与AB平行的直线方程为y12(x0)，即：2xy10，又AB的中点C(4,1)，PC的方程为y1.答案：
12、C二、填空题(每小题5分，共15分)6直线5x12y30与直线10x24y50的距离是_解析：直线10x24y50可化为5x12y0，所以两平行直线间的距离d.答案：7已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x4y60的距离为6，则点P的坐标为_解析：设P(a,0)，则有6，解得a12或8，点P的坐标为(12,0)或(8,0)答案：(12,0)或(8,0)8与直线7x24y5平行且距离等于3的直线方程为_解析：由题意设所求直线方程为7x24yc0，则有3，解得c70或c80.即所求直线方程为7x24y700或7x24y800.答案：7x24y700或7x24y800三、解答题(每小题10分，共20
13、分)9已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程解析：(1)由直线方程的点斜式，得y5(x2)，整理得所求直线方程为3x4y140.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x4yC0，由点到直线的距离公式得3，即3，解得C1或C29，故所求直线方程为3x4y10或3x4y290.10已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程解析：l1l2，或(1)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解得n22或n18.故所求直线的
14、方程为2x4y110或2x4y90.(2)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，l2的方程为2x4y10，解得n18或n22.故所求直线的方程为2x4y90或2x4y110.能力提升(20分钟，40分)11求直线x2y10关于直线x2y10对称的直线方程()Ax2y30 Bx2y30Cx2y20 Dx2y20解析：解法一设对称直线方程为x2yc0|c1|2，c3或1(舍)解法二设对称直线方程为x2yc0取直线x2y10上一点A(1,0)，直线x2y10上一点B(1,0)，A关于B对称点C(3,0)代入x2yc0得c3.答案：B12平行于直线3x4y20，且与它的距离是1的直线方程为_解析：设
15、所求直线方程为3x4yc0(c2)，则d1，c3或c7，即所求直线方程为3x4y30或3x4y70.答案：3x4y30或3x4y7013已知ABC中，A(2，1)，B(4,3)，C(3，2)(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；(2)求ABC的面积解析：(1)由斜率公式，得kBC5，所以BC边上的高所在直线方程为y1(x2)，即x5y30.(2)由两点间的距离公式，得|BC|，BC边所在的直线方程为y25(x3)，即5xy170，所以点A到直线BC的距离d，故SABC3.14已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解析：(1)当l的斜率k不存在时显然满足要求，l的方程为x2；当l的斜率k存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由点到直线距离公式得2，k，l的方程为3x4y100.故所求l的方程为x2或3x4y100.(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由lOP得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.