1、第二章 变化率与导数 A组基础巩固1若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：由题意知，直线l的斜率为4，且y4x3，令4x34，得x1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y14(x1)，整理得4xy30.故选A.答案：A2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2C2 D0解析：f(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.答案：B3已知f(x)x，若f(1)4，则的值是()A4 B4C4 D不确定解析：f(x)x1，f(1)(1)14，4.答案：B4设曲线yax2在点(1
2、，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A1 B.C D1解析：因为y2ax，所以切线的斜率ky|x12a.又由题设条件知切线的斜率为2，即2a2，即a1，故选A.答案：A5(2016高考全国甲卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln 22ln 2， 所以by1kx12ln 211ln 2.答案：1ln 26若f(x)x2，
3、g(x)x3，则适合f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数的公式知 ，f(x)2x，g(x)3x2.因为f(x)1g(x)，所以2x13x2，即3x22x10，解得x1或x.答案：1或7直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.解析：由yln x，得y，令，得x2，故切点为(2，ln 2)，代入直线方程，得ln 22b，所以bln 21.答案：ln 218给出下列命题，其中正确的命题是_(填序号)任何常数函数的导数都是零；直线yx上任意一点处的切线方程是这条直线本身；双曲线y上任意一点处的切线斜率都是负值；直线y2x和抛物线yx2在x(0，)上函数值增长的速度一样快答案：9在
4、曲线yf(x)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135.解析：设切点坐标为P(x0，y0)，f(x0)2xtan 1351，即2x1，x02.代入曲线方程得y02，点P的坐标为(2，2)10求过曲线ycos x上一点P(，)，且与曲线在P点处的切线垂直的直线方程解析：因为点P在曲线上，y(cos x)sin x，所以曲线在点P(，)处的切线的斜率为k1y|xsin，因为所求直线和该切线垂直，所以所求直线的斜率为k2，所以所求直线方程为y(x)，即xy0.B组能力提升1设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为()A1， B1,
5、0C0,1 D，1解析：设切点P的横坐标为x0，曲线C在点P处切线的斜率ky2x02，若为点P处切线的倾斜角，则tan 2x02，0，02x021，x01，答案：A2曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2Ce2 D.解析：yex，则切线斜率为e2，设此切线方程为ye2xb，把(2，e2)代入，得e22e2b，be2，则切线方程为ye2xe2，与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点是(0，e2)，则与坐标轴所围三角形的面积为1e2.答案：D3已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x_.解析：因为f(x)x2，g(x)ln x，所以
6、f(x)2x，g(x)且x0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去)故x1.答案：14设曲线yxn1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a99的值为_解析：因为y(n1)xn，y|x1n1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)令y0，则xn，故anlglg nlg(n1)，所以a1a2a99(lg 1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 98lg 99)(lg 99lg 100)2.答案：25.如图，质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在
7、y轴上的射影点M的速度解析：在时刻t时，角速度为1 rad/s，POA1tt rad.MPOPOAt rad.OMOPsinMPO1sin t.点M的运动方程为ysin t.vy(sin t)cos t，即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cos t m/s.6假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价，假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)解析：p01，p(t)(15%)t1.05t.根据基本初等函数的导数公式表，有p(t)(1.05t)1.05tln 1.05.p(10)1.0510ln 1.050.08(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨
