1、3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离知识导图学法指导1.体会用代数的方法求两条直线的交点坐标2通过平面内两点间的距离解决一些实际中的最值问题，并体会用坐标法证明一些几何问题的步骤高考导航1.利用代数的方法求两条直线的交点坐标是常考知识点，常以选择题的形式出现，分值5分2利用公式求两点间的距离、处理简单的几何问题是常考知识点，以选择题或解答题的形式出现，分值46分.知识点一两条直线的交点坐标1两条直线的交点直线方程：l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20前提条件：两直线组成的方程组有唯一解结论：两直线相交，交点坐标为(x0，y0)2方程组的解的组数与两直线的位置关系方程
2、组的解交点个数直线的位置关系无解0个平行有唯一解1个相交有无数组解无数个重合知识点二两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|1此公式与两点的先后顺序无关2当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|. 小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为ab.()(2)不论m取何值，xy10与x2my30必相交()答案：(1)(2)2直线x2y4
3、0与直线2xy20的交点坐标是()A(2,0) B(2,1)C(0,2) D(1,2)解析：解方程组得即直线x2y40与直线2xy20的交点坐标是(0,2)答案：C3下列直线与直线xy0相交的是()Ayx3 Bxy0Cxy20 D2x2y50解析：A，B，D选项中的直线均与xy0平行，只有C选项中的直线与xy0相交答案：C42019河北衡水校级月考已知两点A(2，m)与点B(m,1)之间的距离等于，则实数m()A1 B4C1或4 D4或1解析：|AB|，m23m40，解得m1或m4.答案：C类型一两条直线的交点问题例1判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点坐标(1)l1：xy0，l2：3
4、x3y100；(2)l1：3xy40，l2：6x2y10；(3)l1：3x4y50，l2：6x8y100.【解析】(1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是.(2)2得90，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又90，所以l1l2.(3)2得6x8y100，因此，和可以化成同一个方程，有无数组解，故和表示同一条直线，所以l1与l2重合.联立所给的直线方程得方程组，然后确定其解的个数，从而确定两直线的位置关系方法归纳两条直线位置关系的判断方法将两条直线方程联立，相当于解一个二元一次方程组，如果有唯一解，说明两条直线相交；如果有无数解，说明两直线重合；如果无解，说明两直线平行跟踪训练1两条直
5、线2xy20和3x4y20的交点坐标为_解析：解方程组得故两直线的交点坐标为(2,2)答案：(2,2)联立两条直线的方程解方程组，求得交点的坐标类型二两点间距离公式的应用例2已知三个点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状. 【解析】|AB|，|AC|，|BC|，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形.已知三角形三个顶点的坐标，利用平面上两点间的距离公式求出三边的长，再由三边长进一步判断ABC的形状方法归纳1计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情
6、况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件跟踪训练2在直线l：3xy10上求一点P，使点P到两点A(1，1)，B(2,0)的距离相等解析：方法一设点P坐标为(x，y)，由点P在l上和点P到点A，B的距离相等建立方程组，得解得所以点P的坐标为(0,1)方法二由题意知，线段AB的中点M的坐标为，AB所在直线的斜率为kAB1，则线段AB的垂直平分线的斜率为1，其方程为y，即xy10.设P(x，y)，则3xy10.由组成的方程组为解得所以所求的点为P(0,1)根据题意可以判定点P在AB的垂直平分线上，又点P在l：3xy10上，所以联立方程即可解此题类型三直线过定点问题例3求
7、证：不论m取何值，直线(m1)x(2m1)ym5都过一定点【解析】方法一当m1时，直线方程为y4；当m时，直线方程为x9.这两条直线的交点为(9，4)又当x9，y4时，9(m1)(4)(2m1)m5，即点(9，4)在直线(m1)x(2m1)ym5上，故无论m取何值，直线(m1)x(2m1)ym5都过定点(9，4)方法二(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)(xy5)0，则无论m取何值，直线(m1)x(2m1)ym5都过直线x2y10与xy50的交点解方程组得即交点为(9，4)不论m取何值，直线(m1)x(2m1)ym5都过定点(9，4).思路一对参数赋予特殊值联立方程得交点坐标代回原方程证
8、明此交点即所求定点思路二将方程变形为m(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0令A1xB1yC10，A2xB2yC20联立方程得所求定点方法归纳(1)分别令参数为两个特殊值得方程并联立得到方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点(2)在解决恒过定点问题时，一般是将直线方程整理为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点跟踪训练3无论a为何实数值，直线(2a1)x(3a2)y18a50必过定点_解析：原方程可化为x2y5a(2x3y18)0，它表示过直线x2y50与直线2x3y180交点的直
9、线系(不包括直线2x3y180)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得所以直线必过定点(3,4)答案：(3,4)分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组，方程组的解即为所求定点的坐标类型四对称问题例4ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y2x，若A，B两点的坐标分别为A(4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为_【解析】把A，B两点的坐标分别代入y2x知，点A，B都不在直线y2x上，直线y2x是C的平分线所在的直线设点A(4,2)关于直线y2x的对称点为A(a，b)，则kAA，线段AA的中点坐标为，则解得即A(
10、4，2)直线y2x是C的平分线所在的直线，A在直线BC上，直线BC的方程为，即3xy100.由解得点C的坐标为(2,4)【答案】(2,4)确定直线y2x为角C的平分线所在直线直线CA与CB关于直线y2x对称求点A关于直线y2x的对称点坐标求直线CB的方程求交点C的坐标方法归纳有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练4已知直线l：y3x3，则直线l关于点
11、A(3,2)对称的直线方程为_解析：设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l，则ll，可设l的方程为y3xb(b3)取直线l上一点E(0,3)，该点关于点A的对称点为E(6,1)，则E在直线l上，所以118b，即b17.所以直线l的方程为y3x17，即直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为3xy170.答案：3xy170设出所求直线方程在直线l上取一点E(0,3)求点E关于点A的对称点E 的坐标由E 在所求直线上求出直线方程.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1直线3xy50与xy10的交点是()A(2，1) B(1,2)C(2,1) D(2，1)解析：由得答案：
12、A2若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为()A4 B2C4或2 D4或2解析：由已知得|AB|5，因此|1m|3，解得m4或m2.答案：D3与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程为()A3x2y70 B3x2y70C3x2y70 D3x2y70解析：由题知，与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程是3(x)2y70，即3x2y70，故选B.答案：B4过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yxm平行，则|AB|的值为()A6 B.C2 D不能确定解析：由kAB1，得1，ba1.|AB|.答案：B5无论m、n取何实数，直线(3mn)x(m2n)yn0都过一定点P，
13、则P点坐标为()A(1,3) B.C. D.解析：直线(3mn)x(m2n)yn0整理为m(3xy)n(x2y1)0，解方程组得交点坐标为.因此无论m，n取何实数直线必经过点.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6已知A(a,3)，B(2,5a)，|AB|13，则实数a的值为_解析：依题意及两点间的距离公式，得13，整理得a2a60，解得a3或a2.答案：3或27已知直线Ax3yC0与直线2x3y40的交点在y轴上，则C的值为_解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x3y40与y轴的交点是，所以点在直线Ax3yC0上，则A03C0，解得C4.答案：482019山西省太原五中检测点A(3
14、,1)，C(1，y)关于点B(1，3)对称，则|AC|_.解析：由已知得3，解得y7，即C(1，7)，|AC|4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|PB|，并求|PA|的值解析：设所求点为P(x,0)，于是有|PA|，|PB|，由|PA|PB|，得，解得x1，所以|PA|2.10(1)求经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线l的方程；(2)求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解析：(1)由，解得，所以交点为.因为直线l与直线3xy1
15、0平行，所以直线l的斜率为3，所以直线l的方程为y3，15x5y160.(2)法一：解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.法二：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.能力提升(20分钟，40分)11直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x1对称的点(2x，y)在直线x2y10上，所以2x2y10，即x2y30.故选D.
16、答案：D12将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.答案：13已知三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40.(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值解析：(1)直线l1，l2，l3交于一点，l1与l2不平行，m4.由，得即l1与l2的交点为代入l3的方程，得3m40，解得m1或.(2)若l1，l2，l3交于一点，则m1或；若l1l2，则m4；若l1l3，则m；若l2l3，则不存在满足条件的实数m.综上，可得m1或或4或.14一条光线沿直线2xy20入射到直线xy50后反射，求反射光线所在直线的方程解析：取直线2xy20上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线xy50对称的点为B(a，b)，则解得 B(3,5)由解得直线2xy20与直线xy50的交点为P(1,4)，反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，该直线的方程为y4(x1)，整理得x2y70.故反射光线所在直线的方程为x2y70.
