1、课时作业11双曲线的简单几何性质|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1双曲线x21的实轴长是()A1B4C2 D8解析：由双曲线的标准方程得a21，故a1，所以实轴长为2a2.答案：C2已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5,3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即1.答案：D3设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3C2 D1解析：令0，得，所以双曲线1的渐近线方程为3xay0，与已知
2、方程比较系数得a2.答案：C4已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B5(全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(
3、a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为(2a，a)M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6若双曲线1的离心率e2，则m_.解析：由题意知a216，即a4，又e2，所以c2a8，则mc2a248.答案：487已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_解析：方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图所示所以双曲线的一条渐近线的斜率k或k，即或.又b2c2a2，3或，e24或，e2或.同理，当双曲线的焦点在
4、y轴上时，则有或，或，亦可得到e或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.方法二根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，则离心率e或2；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，则离心率e2或.综上可得双曲线的离心率为2或.答案：2或8双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).
5、答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解析：双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.10求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(4)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解析：(1)方法一由题意可设所求双曲线方程为
6、4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.方法二由题意可设所求双曲线方程为1(mn0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1
7、(16a，所以e2.答案：(2，)13双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线离心率e的取值范围解析：设直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2.所以sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.因为e，所以52e2，所以25(e21)4e4，即4e425e2250，所以e25(e1)所以e，即e的取值范围为.14已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：0.解析：(1)因为离心率e，所以ab.设双曲线方程为x2y2n(n0)，因为点(4，)在双曲线上，所以n42()26.所以双曲线方程为x2y26.(2)因为点M(3，m)在双曲线上，故m23.又点F1(2，0)，点F2(2，0)，所以kMF1kMF21.所以0.