1、一、集合与函数概念1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理正整数集实数集符号NN(或N*)ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则AB(或BA)；(2)真子集：若集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，则AB(或BA)；(3)相等：若集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集，则AB.(4)子集的性质若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集
2、，有2n2个非空真子集子集关系的传递性，即AB，BCAC.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集ABABAABB.3集合的基本运算(1)并集：ABx|xA或xB；(2)交集：ABx|xA且xB；(3)补集：UAx|xU且xA4函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应名称那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数那么就称f：AB为从集
3、合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xAf：AB(1)函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域f(x)|xA称为函数的三要素(2)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数5函数的单调性单调性的定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，(1)若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说f(x)在区间D上是增函数；(2)若当x1f(x2)，则说f(x)在区间D上是减函数6函数的奇偶性(1)f(x)是奇函数对定义域内任意x，都有f(x)f(x)对定义域内任意x，都有f(x)f(x)0f(x)图象关于原点对称；(2)f(x)
4、是偶函数对定义域内任意x，都有f(x)f(x)对定义域内任意x，都有f(x)f(x)0f(x)图象关于y轴对称二、基本初等函数()1分数指数幂(1)a(a0，m，nN*，且n1)；(2)a(a0，m，nN*，且n1)2根式的性质(1)()na；(2)当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|3有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数式与对数式的互化loga NbabN(a0，a1，N0)5对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)lo
5、galogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)6对数的换底公式及推论(1)换底公式：logab(a0，a1，c0，c1，b0)(2)常用推论：logablogba1；logablogbclogca1；logambnlogab(a0，a1，b0)7对数恒等式：alogaMM，logaaxx.8幂、指数、对数函数的图象及性质(1)指数函数的图象和性质a10a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)，即当x1时，y0x(0,1)时，y0x(0,1)时，y0；x(1，)时，y0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数(3)五个常见幂函数的图象：三、函数与方程1函数的零点
6、(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点的判断若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二分法(1)概念：对于区间a，b上连续的，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法(2)用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间a，b，验证：f(a)f(b)
7、0，给定精确度；第二步：求区间a，b的中点x1；第三步：计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1；若f(x1)f(b)0，则令ax1；第四步：判断是否达到精确度，即若|ab|1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长增长后果总会存在一个x0，当xx0时，就有axxnlogax(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤1任何一个集合都至少有两个子集()提示：空集只有一个子集2x|yx21y|
8、yx21(x，y)|yx21()提示：结合集合的描述法可知x|yx21为函数yx21的定义域；y|yx21为函数yx21的值域；(x，y)|yx21为函数yx21上的点集，故不正确3若x2,10,1，则x0,1.()提示：x2,10,1，则x0.4x|x1t|t1()5对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()6若ABAC，则BC.()提示：B，C未必相等7若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()提示：不能用特殊值判断函数的单调性8函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()提示：1，)为函数的单调递增区间的子集9函数y
9、的单调递减区间是(，0)(0，)()提示：单调区间不能用“”连接10闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()11偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()提示：函数未必在原点处有定义12若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()13如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()14二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()提示：b0时，二次函数yax2bxc，xR是偶函数15.()na(nN)()提示：注意n的奇偶性16若am0，且a1)，则m1时，命题成立17函数y2x在R上为单调减函数()18若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.(
10、)提示：MN0未必M0，N0.19对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()提示：a1时，上述命题成立20函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()21对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()22函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()提示：函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标23函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()24二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()25f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有
11、h(x)f(x)g(x)()26某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()提示：降价后：价格为100(110%)90%99，比较两者间的关系，易知亏损27函数y2x的函数值比yx2的函数值大()提示：未必，如当x2时，函数y2x与yx2函数值相等28不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()30“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()提示：a0，b1.1设全集U3，2，1,0,1,2,3，集合A1,0,1,2，B3,0,2,3，则A(UB)()A3,3B0
12、,2C1,1 D3，2，1,1,3C全集U3，2，1,0,1,2,3，集合A1,0,1,2，B3,0,2,3，则UB2，1,1，A(UB)1,1，故选C.2某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62% B56%C46% D42%C设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得xz60，xyz96，yz82，解得z46.该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.3函数y在6,6的图象大致为(
13、)B因为f(x)，所以f(x)f(x)，且x6,6，所以函数y为奇函数，排除C；当x0时，f(x)0恒成立，排除D；因为f(4)7.97，排除A.故选B.4已知函数f(x)lg(x24x5)在(a，)上单调递增，则a的取值范围是()A(，1 B(，2C2，) D5，)D由x24x50，得x1或x5.令tx24x5，外层函数ylg t是其定义域内的增函数，要使函数f(x)lg(x24x5)在(a，)上单调递增，则需内层函数tx24x5在(a，)上单调递增且恒大于0，则(a，)(5，)，即a5.a的取值范围是5，)故选D.5若定义在R的奇函数(x)在(，0)单调递减，且(2)0，则满足x(x1)0
14、的x的取值范围是()A1,13，) B3，10,1C1,01，) D1,01,3D法一：由题意知f(x)在(，0)，(0，)单调递减，且f(2)f(2)f(0)0.当x0时，令f(x1)0，得0x12，1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，1x1，又x0，1x0；当x0时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1,01,3，选D.法二：当x3时，f(31)0，符合题意，排除B；当x4时，f(41)f(3)0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.6已知alog2 0.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbcaBalog20.20，b20.21，c0.20.3(0,1)，ac0时，x0，f(x)eax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.8已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.9已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.2由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.
