1、第二章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015福建高考)若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析:由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=6.因为|PF1|=3,所以|PF2|=9.答案:B2.(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.
2、D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则,故选A.答案:A3.(2015广东高考)已知双曲线C:=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为=1.答案:C4.(2015天津高考)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为双
3、曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,所以.又因为抛物线y2=4x的准线为x=-,所以c=.由,得a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为=1.答案:D5.(2015四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率
4、k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=.由CMAB,得kCM=-,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以4x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即012.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,即r2=+4.所以4r216,即2rb0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0解析:由题意,知椭圆C1的离心率e1=,双曲线C2的离心率为e2=.因为e1e2=,所以,即,整理可得a=b.又双曲线C2的渐近线方程为bxay=0,所以bxby=0,即xy=
5、0.答案:A9.(2014课标全国高考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QHl于H,则|QH|=|QF|.由题意,得PHQPMF,则有,|HQ|=3.|QF|=3.答案:B10.(2014重庆高考)设F1,F2分别为双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3解析:根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,可得|
6、PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4a2.而由已知可得|PF1|2+2|PF1|PF2|+|PF2|2=9b2,两式作差可得-4|PF1|PF2|=4a2-9b2.又|PF1|PF2|=ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2,所以e=,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2015湖南高考)设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.解析:不妨
7、设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e1,所以e=.答案:12.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.解析:双曲线的渐近线为y=x.由得A.由得B.F为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即=-1,解得,即可得e=.答案:13.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.解析:双曲线x2-y2=1的焦
8、点为F1(-,0),F2(,0).抛物线的准线方程为x=-.因p0,故-=-,解得p=2.答案:214.(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c 即可,故c的最大值为.答案:15.(2014江西高考)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的
9、离心率等于.解析:由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得-,并整理得=-.(*)M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-,x1+x2=2,y1+y2=2,k=-.(*)式可化为,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即.e=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2015安徽高考)设椭圆E的方程为=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b)
10、,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而,进而得a=b,c=2b,故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为=1.17.(6分)(2015湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2
11、相交于C,D两点,且同向.若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;设C1在点A处的切线与x轴的交点为M.证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以=1.联立,得a2=9,b2=8.故C2的方程为=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因同向,且|AC|=|BD|,所以,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x
12、3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.将,代入,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直线l的斜率为.由x2=4y得y=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.令y=0得x=,即M,所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+10,因此AFM
13、是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.18.(6分)(2014江西高考)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=
14、-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y=-2.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.19.(7分)(2015天津高考)已知椭圆=1(ab0)的左焦点为F(-c
15、,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|=,解得c=1,所以椭圆的方程为=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=,解得-x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=.当x时,有y=t(x+1)0,于是m=,得m.当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=-,得m.综上,直线OP的斜率的取值范围是.
