1、选修22模块综合评估第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知(xi)(1i)y，则实数x，y分别为(D)Ax1，y1 Bx1，y2Cx1，y1Dx1，y2解析：(xi)(1i)xxii1(x1)(1x)iy，x1y且1x0，x1，y2.2若函数f(x)excosx，则此函数的图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为(D)A0B锐角C.D钝角解析：f(x)excosxex(sinx)ex(cosxsinx)当x1时，cosxsinx0，故f(1)0，所以倾斜角为钝角3设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为(D)解析：由图象可知，
2、yf(x)在(，0)上是增函数，因此在x0(即全部在x轴上方)，故排除A，C；从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f(x)0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f(x)0，故排除B.4若函数f(x)x33bx3b在区间(0,1)内有极小值，则(D)Ab0Bb1CbD0b0.令f(x)0，解得x或x，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有01，故0b1.5. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为(B)A25 km/h
3、B20 km/hC15 km/hD30 km/h解析：因为轮船航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，可设比例系数为k，则6k103，求得k，所以航行每千米的总费用为y(96v3)，利用导数可求得当y取最小值时v20.6函数yx34x4的极大值和极小值分别是(C)A.， B.，C.，D以上都不对解析：由yx240，得x2.当x0；当2x2时，y2时，y0.当x2时，极大值为，当x2时，极小值为.7已知复数z1abi，z21ai(a，bR)，若|z1|z2|，则(B)Ab1B1b1Db0解析：a2b21a2，b21.1b0，所以yexx是增函数，故选A.9函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极
4、值10，那么a，b的值分别为(A)A4，11B4,11C4,11D4，11解析：f(x)3x22axb，由题意知f(1)2ab30，f(1)a2ab110.由解得或当a3时，x1不是极值点10若函数f(x)x3ax21在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为(A)Aa3Ba3Ca3D0a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数f(x)在1，2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，f(
5、2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.12定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)AxB(A，B为常数)使得f(x)g(x)对任意的xR都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数，则下列说法正确的是(C)A函数f(x)x22x不存在承托函数Bg(x)x为函数f(x)sinx的一个承托函数Cg(x)x为函数f(x)ex1的一个承托函数D函数f(x)不存在承托函数解析：对于C，设h(x)f(x)g(x)exx1，则h(x)ex1.当x0时，h(x)0时，h(x)0.当x0时，h(x)最小，h(0)0.h(x)0，即f(x)g(x)对xR成立g(x)是f(
6、x)的一个承托函数第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13复数z2i的模为3.解析：|z|2i|3.14设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是abc.解析：a，b，c.0，abc.15已知某种型号的汽车每小时的耗油量y(L)与行驶速度x(km/h)的函数关系为y8(0x120)若甲、乙两地相距100 km，为使汽油的使用效率最高(即最省油)，汽车应以80 km/h的速度从甲地驶往乙地解析：设速度为x km/h，则用时 h，耗油h(x)(8)(0x120)，h(x).令h(x)0，得x80.当0x80时，h(x)0，当80x0.故当x80时，h(x)最小，即当汽车以80
7、km/h的速度从甲地驶往乙地时，可使汽油的使用效率最高16已知f(x)lgx，函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，有如下结论：0f(3)f(3)f(2)f(2)；0f(3)f(2)0；f0，f(2)lgelg，f(3)f(2)lg，所以0f(3)f(3)f(2)0，所以曲线f(x)上任一点的切线的斜率大于0，正确；画出f(x)的图象可知f，所以不正确三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)在曲线yx2上取一点，使得在该点处的切线：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.分别求出满足上述条件的点的坐标解：设y
8、f(x)，则f(x) (2xx)2x.设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为点P处的切线与直线y4x5平行，所以2x04，解得x02，所以y04，即P(2,4)(2)因为点P处的切线与直线2x6y50垂直，且直线2x6y50的斜率为，所以2x01，解得x0，所以y0，即P.(3)因为点P处的切线的倾斜角为135，所以切线的斜率为tan1351，即2x01，解得x0，所以y0，即P.18(12分)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值解：由f(x)sinxcosxx1,0x2，得f(x)1sin(x)，令f(x)0，从而sin(x)，得x或x.当x变化时，
9、f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)(，2)f(x)00f(x)2因此，由上表知f(x)的单调增区间是(0，)和(，2)，单调减区间是(，)，极小值为f()，极大值为f()2.19(12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2，求点P对应的复数解：(1)证明：|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上即A，B，C，D四点共圆(2)A(0，)，B(，)，(，)设P(x，y)，则(x，y)，若2，那么(，)(2x,2y2)，解得点P对应的复数
10、为i.20(12分)已知函数f(x)ln(x1)，其中实数a1.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在x1处取得极值，试讨论f(x)的单调性解：(1)f(x).当a2时，f(0)，而f(0)，因此曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y()(x0)，即7x4y20.(2)因a1，由(1)知f(1)，又因f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即0，解得a3.此时f(x)ln(x1)，其定义域为(1，3)(3，)，且f(x).由f(x)0得x11，x27.当1x7时，f(x)0；当1x7且x3时，f(x)0.解：(1)f(x)ex.由x0是f(
11、x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)上单调递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.22(12分)已知函数f(x)ln(23x)x2.(1)求f(x)在0,1上的极值；(2)若对于任意x，不等式|af(x)|ln5恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x，令f(x)0得x或x1(舍去)所以当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)ln5可得af(x)ln5或af(x)f(x)ln5或af(x)ln5恒成立，则aln3ln5ln15；若af(x)ln5恒成立，则aln15或a.