1、模块综合评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1若直线l经过原点与点(1，1)，则它的倾斜角是(A)A45 B135 C45或135 D0解析：易知直线l的斜率为1，设倾斜角为，则tan1，0，180)，45.2与直线2xy10平行，且与圆x2y25相切的直线的方程是(B)A2xy50 B2xy50或2xy50C2xy50 D2xy50或2xy50解析：因为该切线与直线2xy10平行，所以可设切线方程为2xyC0，则圆心到切线的距离d，解得C5，所以切线方程为2xy50，故选B.3已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(A)A1 B2 C3 D6解析：由三视图可知，该三棱锥的底
2、面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为3，则VSh1231.4给定空间直角坐标系，若在x轴上找一点P，使它与P0(4,1,2)的距离为，则点P的坐标为(C)A(9,0,0) B(1,0,0)C(9,0,0)或(1,0,0) D以上答案都不对解析：设点P的坐标为P(x,0,0)，由题意知，|PP0|，即，所以(x4)225，解得x9或x1，所以点P的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)5空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是(B)A线段AB的中垂线 B线段AB的中垂面C过AB中点的一条直线 D一个圆解析：由平面中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是线段AB的中垂线可推得空间中到A，B
3、两点的距离相等的点构成的集合是线段AB的中垂面6平面内称横坐标为整数的点为“次整点”过函数y的图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45的直线的条数为(B)A10 B11 C12 D13解析：如图，设曲线y的次整点分别为P1，P2，P7，过点P1且倾斜角大于45的直线有P1P2，P1P3，过点P2的有P2P7，过点P3的有P3P6，P3P7，过点P4的有P4P5，P4P6，P4P7，过点P5的有P5P6，P5P7，过点P6的有P6P7，共11条7已知直线l1：(k3)x(4k)y10与直线l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是(C)A1或3 B1或5 C3或5 D1或2解析：当k3时，两
4、直线平行；当k3时，由两直线平行，斜率相等，得k3，解得k5.8设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C)A若l，则l B若l，则lC若l，则l D若l，则l解析：选项A，B，D均可能出现l，故选C.9已知二面角l是锐二面角，直线AB，AB与l所成的角为45，AB与平面成30角，则二面角l的大小为(B)A30 B45 C60 D90解析：如图，作AOl于O，作AC于C，连接BC，OC.在RtAOB中，ABO45，设AB1，则AO.在RtACB中，ABC30，ACAB，在RtACO中，sinAOC，AOC45.10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(C)A.
5、 B32 C8 D8解析：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥PABC所示，PA底面ABC，BCAC，该几何体可以补成一个长方体，该几何体的外接球的半径R满足(2R)222()2()28，外接球的表面积为4R28.故选C.11若圆C：x2y2ax2y10和圆x2y21关于直线yx1对称，动圆P与圆C相外切，且与直线x1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是(C)Ay26x2y20 By22x2y0Cy26x2y20 Dy22x2y20解析：由圆C与圆x2y21关于直线yx1对称，知圆C的圆心坐标为(1，1)，半径为1.设圆P的圆心为(x，y)，由已知得|x1|1，易知x1，x2，化简得y26
6、x2y20.12定义运算，称为将点(x，y)映到点(x，y)的一次变换若把直线ykx上的各点映到这点本身，而把直线ymx上的各点映到这点关于原点对称的点，则k，m，p，q的值依次是(B)A1，2,3,3 B1,3,3，2 C2,3,3,1 D2,1,3,3解析：(1，k)是直线ykx上的点，若在定义运算的作用下的点的坐标为(1，k)，则有(1，m)是直线ymx上的点，若在定义运算的作用下的点的坐标为(1，m)，则有两式联立解得m3，k1，q2，p3.二、填空题(每小题5分，共20分)13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则.解析
7、：根据题意得r3R2r，化简可得.14光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2y210x14y700的最短路程为62.解析：由题可知，圆心C的坐标为(5,7)，半径r2，A(1,1)关于y轴的对称点为A1(1,1)，最短路程为|A1C|262.15已知H是球O的直径AB上的一点，且AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为.解析：如图，设球O的半径为R，则AH，OH.又EH2，EH1.在RtOEH中，R2212，R2，球O的表面积S4R2.16下列命题中正确的是.(填序号)空间中三个平面，若，则；球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为a2；
8、三棱锥PABC中，PABC，PBAC，则PCAB.解析：中与也可能相交，错误；中可得球的半径为ra，故球的表面积为4r242a2，正确；中由PABC，PBAC，得点P在底面ABC上的投影为ABC的垂心，故PCAB，正确三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知直线l1：yk(x1)1(kR)(1)证明：直线l1过定点；(2)若直线l1与直线l2：3x(k2)y20平行，求k的值并求此时两直线之间的距离解：(1)证明：直线l1：yk(x1)1(kR)，令x1，可得y1，直线l1过定点(1，1)(2)直线l1与直线l2：3x(k2)y20平行，k，解得k1或k
9、3，经检验k1满足条件，k3不满足条件，此时l1：yx2，l2：yx，两直线之间的距离d.18.(12分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图2折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积解：(1)证明：ED平面ABCD，AD平面ABCD，EDAD.又四边形ABCD为矩形，ADCD.EDCDD，AD平面CDEF.CF平面CDEF，MDCF.又CFMF，MDMFM，CF平面MDF.(2)在RtPCD中，CD1，PC2，PD，CPD30.
10、由(1)知CF平面MDF，CFDF，在RtPDF中，DFPDsin30，PFPDcos30.EFCD，PDCD，PEEF.在RtPEF中，PEPFcos30，EDPDPE，MEPE.在RtMED中，MD ，VMCDESCDEMDCDDEMD1 .三棱锥MCDE的体积为.19.(12分)如图所示，已知在四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，且CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：在ABD中，ABAD，O是BD的中点，BD2，AOBD且AO1.连接OC，BCDC2，O为BD的中点，COBD且CO.在AOC中，AO
11、1，CO，AC2，AO2CO2AC2，AOCO.BDOCO，AO平面BCD.(2)取AC的中点F，连接OF，OE，EF，在ABC中，E，F分别为BC，AC的中点，EFAB，且EFAB.在BCD中，O，E分别为BD，BC的中点，OECD且OECD1，异面直线AB与CD所成的角等于OEF(或其补角)又OF是RtAOC斜边上的中线，OFAC1，在等腰OEF中，取EF的中点G，连接OG，则EGEF，OGEF，cosOEF，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.20(12分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，知|
12、O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)，满足方程y28x.动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.21.(12分)如图所示，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC.(2)请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE平面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由(3)求二面角CA1B1C1的大小解：(1)证明：因
13、为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，所以AA1平面ABC.(2)当点E是线段AB1的中点时，有DE平面AA1C1C.理由如下：如图，连接A1B交AB1于点E，连接DE.因为点E是A1B的中点，点D是线段BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(3)因为AA1平面ABC，所以AA1AB，又因为AC2AB2BC2，所以ACAB，所以AB平面AA1C1C，所以A1B1平面AA1C1C，所以A1B1A1C1，A1B1A1C，所以C1A1C是二面角CA1B1C1的
14、平面角易得tanC1A1C1，所以二面角CA1B1C1的平面角为45.22(12分)已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1,0)(1)若l1与圆C相切，求l1的方程；(2)若l1与圆C相交于P，Q两点，求CPQ面积的最大值，并求此时直线l1的方程解：(1)若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x1，符合题意若直线l1斜率存在，则可设直线l1的方程为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心C(3,4)到直线l1的距离等于半径2，即2，解得k，直线l1的方程为3x4y30.综上可知，直线l1的方程是x1或3x4y30.(2)直线l1与圆C相交，l1的斜率必定存在，且不为0，故可设直线l1的方程为kxyk0，则圆心到直线l1的距离d，又CPQ的面积Sd2d，当d时，S取得最大值2，d，得k1或k7，直线l1的方程为yx1或y7x7.