1、第2课时指数函数及其性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点)2通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】(教材改编题)比较下列各组数的大小：(1)0.61.2和0.61.5；(2)1.70.2和0.92.1；(3)a1.1与a0.3(a0且a1)；(4)40.9，80.61和.解：(1)0.61.2,0.61.5可看作函数y0.6x的两个函数值，因为函数y0.6x在R
2、上是减函数，且1.21.5，所以0.61.21.701,0.92.10.92.1.(3)当a1时，yax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，yax在R上是减函数，故a1.11和0a1两种情况分类讨论.1.比较下列各组值的大小(1)0.80.7，0.80.9，1.20.8；解：(1)1.20.81.201，而0.80.90.80.70.801，0.80.90.80.71.20.8.利用指数函数的单调性解不等式【例2】(1)解不等式2；(2)已知a0，a1)，求x的取值范围解(1)2，原不等式可以转化为.y在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0
3、a0，a1)在R上是减函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得x5；当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得1x5.综上所述，当0a1时，x5；当a1时，1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)ag(x)2若ax1(a0且a1)，求x的取值范围解因为ax1，所以ax1a3x5，当a1时，yax为增函数，可得x13x5，所以x3；当0a1时，yax为减函数，可得x13.综上，当a1时，x的取值范围为(，3)；当0a
4、0，且a1)的单调性与yx2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性一致；(2)当0a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性相反【例3】判断f(x)的单调性，并求其值域思路点拨：解令ux22x，则原函数变为y.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y在(，)上递减，y在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，y，u1，)，00，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0aay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情
5、况进行讨论(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解2数学方法：比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.3数学思想：研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0a0.1b，则ab.()(3)a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.()(4)由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数()答案(1)(2)(3)(4)2若2x11，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，)D(，1)D2x1120，且y2x是增函数，x10，x0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x)ax22x(x0)的值域解(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)在R上递减，2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以3，即函数g(x)ax22x(x0)的值域为(0,3