1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程第二章 第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习
2、指导 人教B版 数学 选修2-1 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率 e 有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.椭圆的定义是什么？2椭圆定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？答案：1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于
3、常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2不是当2a|F1F2|时，动点M的轨迹也就不存在了当2a|F1F2|时，动点轨迹为线段F1F2.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、双曲线的定义1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹，叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线定义的焦点语言表示设双曲线上任一点M与两焦点距离之差的绝对值为常数2a，则 M 所 满 足 的 集 合 是 P
4、 M|MF1|MF2|2a(02a|MF2|，|MF1|MF2|2a(a0)；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|0)因此得到|MF1|MF2|2a.这与椭圆的定义中|MF1|MF2|2a是不同的第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C直线D一条射线答案 D解析 由双曲线的定义可得，F1，F2是两定点，|F1F2|10，满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹为一条射线导学号 64150365第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高
5、中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 二、双曲线的标准方程1双曲线标准方程的比较类型焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F2(0，c)，F2(0，c)a，b，c 的关系c2a2b2第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，这里c2a2b2，不要与椭圆中的a2b2c2相混淆，且椭圆中ab0，而双曲线中，a，b大小不确定2由标准方程判断焦点位置的方法焦点F1，F
6、2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2015北京文，12)已知(2,0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b_.答案 3解析 由题意知 c2，a1，b2c2a23，所以 b 3.导学号 64150366第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 三、待定系数法求双曲线标准方程用待定系数法求双曲线标准方程的方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定
7、量(确定a2，b2的值)要特别注意a2b2c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆具体步骤如下：(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)确定方程的形式：根据上述判断设方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21.(3)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于 a，b，c 的方程组(4)解方程组：解上述方程组，得到参数 a，b，c 的值，代入所设方程即为所求第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 注意：如果已知
8、双曲线的方程为标准形式，但不知焦点位置，也可以把双曲线方程设为mx2ny21(m，n异号)，然后由条件求m，n.求双曲线的标准方程是本节的一个重点，常见的类型主要有两类：一是根据题意可以判定出焦点的位置，从而设出标准方程的形式，利用待定系数法确定a，b的值；二是未给出坐标系，须建立坐标系，然后根据双曲线的定义确定方程第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a4，c5，焦点在x轴上；(2)ab，经过点(3，1)解析(1)因为 a4，c5，所以 b2c2a225169，又因为焦点在 x 轴上，所以双曲线的标准方
9、程为x216y291.导学号 64150367第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)当焦点在 x 轴上时，可设双曲线方程为 x2y2a2，将点(3，1)代入得，32(1)2a2，所以 a2b28.因此，所求的双曲线的标准方程为x28y281.当焦点在 y 轴上时，可设双曲线方程为 y2x2a2，将点(3，1)代入得(1)232a2，a28 不可能，所以焦点不可能在y 轴上综上，所求的双曲线的标准方程为x28y281.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四、焦点三角形问题双曲线上一点P与双曲
10、线的两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中|PF1|，|PF2|和|F1F2|为三角形的三边，解决与这个三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理，在解题中将|PF1|PF2|看成一个整体可简化运算第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 PF1F2 的顶点 P 在双曲线x2a2y2b21 上，F1，F2 是双曲线的焦点，且F1PF2，求PF1F2 的面积 S.解析 如图，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a.导学号 64150369第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
11、数学 选修2-1 在F1PF2 中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos)4c24a22|PF1|PF2|(1cos)|PF1|PF2|2c22a21cos2b21cos.SPF1F212|PF1|PF2|sin b2sin1cos b2tan2.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 五、共焦点问题对于椭圆与双曲线共焦点问题，或者是双曲线与双曲线共焦点问题，要充分运用有关曲线的定义结合整体思想去解决第
12、二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 椭圆x2my2n1(mn0)和双曲线x2ay2b1(a0，b0)有相同的焦点 F1，F2，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|()AmaB.12(ma)Cm2a2D.m a答案 A导学号 64150370第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 由椭圆和双曲线定义得|PF1|PF2|2 m，|PF1|PF2|2 a，22，得 4|PF1|PF2|4m4a，|PF1|PF2|ma.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数
13、学 选修2-1 课堂典例探究第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)双曲线16x29y2144的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|64，求F1PF2的面积双曲线定义及标准方程的应用导学号 64150371第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思 路 分 析 (2)知 道
14、|PF1|PF2|的 值，若 用 S 12|PF1|PF2|sinF1PF2 来求，只需求出F1PF2 的大小解析(1)B 根据双曲线的定义：乙甲，但甲/乙，只有当 2a|F1F2|且 a0 时，其轨迹才是双曲线(2)双曲线的方程可化为x29y2161，则 a3，b4，c5，由双曲线的定义知：|PF1|PF2|6，第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 又|F1F2|2c10，在F1PF2 中，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|2|PF1|P
15、F2|3610012812812.F1PF23.SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF216 3.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结(1)双曲线上点的性质 第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2焦点三角形问题双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三角形PF1F2 称为焦点三角形令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a(2)余弦公式：4c2r21r222r1r2cos(3)面积公式：SPF1F212
16、r1r2sin一般地，在PF1F2 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)(2015福建理，3)若双曲线 E：x29y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5D3(2)已知双曲线 C：x29y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线 C 的右支上一点，且|PF2|F1F2|，则PF1F2 的面积等于()A24B36C48D96导学号 64150372第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导
17、 人教B版 数学 选修2-1 答案(1)B(2)C解析(1)由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9，故选 B.(2)由题意得|F1F2|10，PF1PF26，PF210，PF116，cosPF2F110210216221010 725，sinPF2F12425，SPF1F2121010sinPF2F150242548.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 利用定义求双曲线方程已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程思路分析 利用两圆内、外切的充要条件找
18、出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解解析 设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC1|r 2，|MC2|r 2，|MC1|MC2|2 2.导学号 64150373第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 又 C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2 21).第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求双曲线的标准方程已知双曲线过 P1(2，32 5)和 P2(43 7，4)两点，求双曲线的标准方程思路分析 因无法判定双曲线的焦点位置，可分别设为x2a2y2b21(a0，b0)和y2a2x
19、2b21(a0，b0)两种情况来求解，也可设方程为 mx2ny21(mn0，b0)P1、P2 在双曲线上，22a232 52b2143 72a242b21解得 1a2 116，1b219(不合题意舍去)；第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0，b0)P1、P2 在双曲线上，32 52a2 4b21，42a243 72b21.解得 1a219，1b2 116，即 a29，b216.所求双曲线方程为y29x2161.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教
20、B版 数学 选修2-1 解法二：双曲线的焦点位置不确定，设双曲线方程为 mx2ny21(mn0，b0)和y2a2x2b21(a0，b0)两种情况，运用了分类讨论的思想，分别求解方法二将双曲线的方程设为 mx2ny21(mn0，b0)，将点(3，4 2)，(94，5)分别代入方程得32a2 9b21，25a28116b21，解得a216，b29.所求双曲线的标准方程为y216x291.第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 有关双曲线的实际应用题如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA10
21、0m，BP150m，BC60m，APB60，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程导学号 64150377第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 首先确定分界线上的任一点应是沿PA，PB两条路线距离相等的点，然后进行讨论即可解析 田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹设M是界线上的任一点，则|PA|MA|PB|MB|，即|MA|MB|PB|PA
22、|50(定值)故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 若以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x2a2y2b21，其中 a25，2c|AB|100215022100150cos6050 7.c25 7，b2c2a23750.因此，双曲线方程为x2625 y237501(25x35，y0)，即为所求界线的方程第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 有关双曲线的实际应用题，关键是审清题意，根据题目中所
23、给的条件列出方程或等式，如果没有坐标系要先建系，再根据双曲线的定义用待定系数法可解第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s已知各观测点到该中心的距离都是1020 m试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)导学号 64150378第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 如图，以接报中心的原点 O，正东、正北方向为
24、 x轴、y 轴正向，西、东、北观测点，则 A(1020，0)、B(1020,0)、C(0,1020)第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设 P(x，y)为巨响发生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 yx.因 B 点比 A 点晚 4 s 听到爆炸声，故|PB|PA|34041360.由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线x2a2y2b21上，第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 依题意 a680，c1020，b2
25、c2a210202680253402.故双曲线方程为 x26802y2534021.把 yx 代入上式，得 x680 5.|PB|PA|，x680 5，y680 5.即 P(680 5，680 5)故|PO|680 10(m).第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 对双曲线定义的理解不正确若一个动点 P(x，y)到两个定点 F1(1,0)，F2(1,0)的差的绝对值为定值 a(0a2)，试讨论点 P 的轨迹方程错解 由双曲线的定义可知，轨迹是以 F1(1,0)，F2(1,0)为焦点的双曲线，其中 c1，b21a24，所以点 P 的轨迹方程为x2
26、a24 y21a241.错因分析 对双曲线的定义理解不正确，忽略双曲线中2a是大于0小于|F1F2|的，在本题中没有对a的范围进行讨论导学号 64150379第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 正解 由已知，得|F1F2|2.当 a0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线，方程为 x0；当 0a2 时，轨迹是以F1(1,0)，F2(1,0)为焦点的双曲线，其中 c1，b21a24，方程为x2a24 y21a241；当 a2 时，轨迹为两条射线 y0(x1)，y0(x1).思路分析 利用双曲线的定义求轨迹方程时，一定要注意 02a0，b0y2a2x2b21a0，b0双曲线标准方程的求法掌握第二章 2.3 2.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
