1、课时素养评价七类 比 推 理 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a3=b3,则a=b”类比推出“若a0=b0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(ab)c=acbc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“=+(c0)”D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn”【解析】选C.由实数运算的知识易得C项正确.2.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180;张军某次考试成绩是100分,由此推出全班
2、同学的成绩都是100分;三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸n边形内角和是(n-2)180.A.B.C.D.【解析】选C.是类比推理;是归纳推理;是归纳推理.所以、是合情推理.故C正确.3.长、宽分别为a,b的矩形的外接圆的面积为(a2+b2),将此结论类比到空间中,正确的结论为()A.长,宽,高分别为a,b,c的长方体的外接球的半径为B.长,宽,高分别为a,b,c的长方体的外接球的表面积为(a2+b2+c2)C.长,宽,高分别为a,b,c的长方体的外接球的体积为(a3+b3+c3)D.长,宽,高分别为a,b,c的长方体的外接球的表面积为(a2+b2+c2
3、)【解析】选D.长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则长方体的体对角线长=2外接球的半径=;所以空间长方体外接球的半径为r=.外接球表面积S=4r2=(a2+b2+c2).二、填空题(每小题5分,共15分)4.在RtABC中,CACB,斜边AB上的高为h1,则=+;类比此性质,如图,在四面体P-ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,则得到的正确结论为_.【解析】设点P在平面ABC的射影为O,连接CO且延长交AB于点D,连接PD,由已知得PCPD,在直角三角形PDC中,DCh=PDPC,即h=PDPC,所以=+,容易知道 AB平面PDC,所以ABPD,在直角三角形APB中,
4、ABPD=PAPB,所以PD=PAPB,=+,故=+.(也可以由等体积法得到)答案:=+5.在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不同时为0)表示过原点的直线.类似地,在空间直角坐标系O -xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示_.【解析】由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系O -xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示过原点的平面.答案:过原点的平面6.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间
5、中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为_.【解析】=.答案:18三、解答题(每小题10分,共20分)7.在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN+)成立.类比上述性质,在等比数列bn中,若b9=1,则有什么样的等式成立?【解析】在等差数列an中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,所以a1+a2+an+a19=0,即a1+a2+an=-a19-a18-an+1,又因为a1=-a19,a2=-a18,a19-n=-an+1,所以a1+a2+an=a1+a2+a19-n,
6、类比上述性质,在等比数列bn中,若b9=1,则可得b1b2bn=b1b2b17-n(n0),则两边平方得,则3+2=m2,即3+2m=m2,解得,m=3,m=-1舍去.2.(5分)若P0(x0,y0)在椭圆+=1(ab0)外,过P0作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是+=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P(x0,y0)在双曲线-=1(a0,b0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是_.【解析】类比椭圆的切点弦方程可得双曲线-=1的切点弦方程为-=1.答案:-=13.(5分)已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表
7、,第一行为2,第二行为4,6,第三行为12,10,8,第四行为14,16,18,20,如图所示,在该数表中位于第i行、第j列的数记为aij,如a32=10,a54=24.若amn=2 018,则m+n=_.24612108141618203028262422【解析】由题干图可知,第一行放1个偶数,第二行放2个偶数,第三行放3个偶数,由于2 018是该偶数列的第1 009个数,所以可以断定2 018应位于该数表的45行,故m=45.又第45行的第45个即该偶数列的第991个偶数为1 982,利用等差数列的任意两项之间关系可知2 018应出现在该行的第27列,故n=27,所以m+n=45+27=7
8、2.答案:724.(10分)若数列an是等比数列,且an0,则数列bn=(nN*)也是等比数列.若数列an是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为:bn=是等差数列,请问这个结论对吗?【解析】考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方),到了等差数列中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘).在本题中所给等比数列用到了乘法与开方,所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法.所以该性质为:若数列an是等差数列,则bn=是等差数列.这个命题是正确的,证明如下:设等差数列an的公差为d,则bn+1-bn=-=,因为an为等差数列所以an+1-a
9、i=(n+1-i)d(i=1,2,n) ,所以bn+1-bn= ,所以bn为公差是的等差数列.1.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,类比推广到空间:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2.则下列类比结论中正确的是()A.=B.=C.=D.=【解析】选D.设正四面体的棱长为1,取BC的中点D,连接AD,作正四面体的高PM.则AD=,AM=AD=,所以PM=.所以VP-ABC=12=.设内切球的半径为r,内切球球心为O,则VP-ABC=4VO -ABC=412r,解得r=.设外接球的半径为R,外接球球心为N,则MN=|PM-R|或
10、|R-PM|,AN=R,在RtAMN中,由勾股定理得AM2+MN2=AN2,所以+=R2,解得R=.所以=.所以=.2.(1)椭圆C:+=1(ab0)与x轴交于A,B两点,点P是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求证:为定值b2-a2.(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线-=1(a0,b0)与x轴交于A,B两点,点P是双曲线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,则为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解析】(1)设点P(x0,y0)(x0a).依题意,得A(-a,0),B(a,0),所以直线PA的方程为y=(x+a),令x=0,得yM=.同理得yN=-.所以yMyN=.又点P(x0,y0)在椭圆上,所以+=1,因此=(a2-).所以yMyN=b2.因为=(a,yN),=(-a,yM),所以=-a2+yMyN=b2-a2.(2)定值为-(a2+b2).
