1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积(1)(2015课标全国卷)向量(1，1)，b(1，2)，则(2b)()A1 B0 C1 D2(2)已知正方形，ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_解析：(1)法一(1，1)，b(1，2)，22，b3，从而(2b)22b431.法二(1，1)，b(1，2)，2b(2，2)(1，2)(1，0)，从而(2b)(1，0)(1，1)1，故选 C.(2)如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为 1，故 B(1，0)，C(
2、1，1)，D(0，1)又 E 在 AB 边上，故设 E(t，0)(0t1)则DE(t，1)，CB(0，1)故DE CB 1.又DC(1，0)，DE DC(t，1)(1，0)t，且 0t1.DE DC 的最大值为 1.答案：(1)C(2)111求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形(1)(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC()A5 B4 C3
3、D2(2)在ABC 中，BC2，A23，则AB AC 的最小值为_解析：(1)由四边形 ABCD 为平行四边形，知AC AB AD(3，1)，故AD AC(2，1)(3，1)5.(2)由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos23 2ABACABAC3ABAC，又 BC2，则 ABAC43.所以AB AC|AB|AC|cos23 23，(AB AC)min23，当且仅当 ABAC 时等号取得 答案：(1)A(2)23(1)(2015福建卷)设(1，2)，b(1，1)，ckb.若 bc，则实数 k 的值等于()A32B53C.53D.32(2)若向量，b 满足：|1，(b)，(2b)b，则
4、|b|()A2 B.2C1 D.22解析：(1)ckb(1k，2k)，又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得 k32.(2)(b)，|1，(b)0，|2b0，b1.又(2b)b，(2b)b0.2b|b|20.|b|22.|b|2.答案：(1)A(2)B1非零向量垂直的充要条件：bb0|b|b|x1x2y1y20.2(1)bb0 是对非零向量而言的，若0 时，b0，但不能说b.(2)bb0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题 已知向量AB 与AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若AP AB AC，且AP BC，求实数 的值解：BC AC AB，AP A
5、B AC，又AP BC，AP BC 0.则(AB AC)(AC AB)(1)AB AC AB 2AC 20，(1)3212 940，因此 712.(1)(2015重庆卷)若非零向量，b 满足|2 23|b|，且(b)(32b)，则与 b 的夹角为()A.4B.2C.34D解析：由(b)(32b)得(b)(32b)0，即 32b2b20.又|2 23|b|，设，b，则 3|2|b|cos 2|b|20，83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.cos 22.又0，4.答案：A(2)(2016衡水中学月考)已知平面向量 m，n 的夹角为6，且|m|3，|n|2，在ABC 中，AB 2m2n
6、，AC 2m6n，D 为BC 的中点，则|AD|()A2 B4 C6 D8解析：由题意得AD 12(AB AC)2(mn)，所以|AD|2（mn）22 m2n22mn 23422 3 32 2.答案：A1在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式如2|2 是正确的，而b|b|和|b|b|都是错误的 2(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；(2)两个非零共线向量的夹角分别是 0与 180；(3)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题(1)已知向量(1，3)，b(3，m)若向量，b 的夹角为6，则实数 m()A2 3B.3C0 D 3(2)已知平面向量 a，b 的夹角为 120，且b1，则|b|的最小值为()A.6B.3C.2D1解析：(1)cos，b b|b|，cos6 3 3m2 32m2，解得 m 3.(2)由题意可知：1b|b|cos120，所以 2|b|2|b|22，即|2|b|24.|b|222bb22b22426，所以|b|6.答案：(1)B(2)A