1、3.3.2函数的极值与导数自主预习探新知情景引入在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近所有点的最高点同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近所有点的最低点群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部新知导学1极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在xa附近其他点的函数值f(x)_ f(a)；(2)f(a)_0_；(3)在xa附近的左侧_f(x)0_，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在xb附近其他点的函数值f(x)_ f(b)；(
2、2)f(b)_0_；(3)在xb附近的左侧_f(x)0_，在xb附近的右侧_f(x)0_，右侧_f(x)0_，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧_f(x)0_，那么f(x0)是极小值预习自测1函数yx31的极大值是(D)A1 B0 C2 D不存在解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值2下列说法正确的是(C)A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C函数f(x)|x|只有一个极小值D函数yf(x)在区间(a，b)上一定存在极值解析函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，
3、故A，B，D错误，C正确，函数f(x)|x|只有一个极小值为0.3(2020银川三模)已知函数f(x)cosxalnx在x处取得极值，则a(C)ABCD解析f(x)cosxalnx，f (x)sinx，f(x)在x处取得极值，f ()0，解得：a，经检验符合题意，故选C4函数f(x)exx的极小值为_1_.解析f(x)ex1，令f(x)0，得ex10，x0.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值1由上表可知，当x0时，f(x)取极小值，f(x)极小值f(0)1.5(2020全国卷文，20)已知函数f(x)x3kxk2.(1)讨论f(x)的单
4、调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围解析(1)f(x)3x2k.当k0时，f(x)x3，故f(x)在(，)单调递增当k0，故f(x)在(，)单调递增当k0时，令f(x)0，得x.当x(，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，)，(，)单调递增，在(，)单调递减(2)由(1)知，当k0时，f(x)在(，)单调递增，f(x)不可能有三个零点当k0时，x为f(x)的极大值点，x为f(x)的极小值点此时，k1k1且f(k1)0，f()0.根据f(x)的单调性，当且仅当f()0，即k20时，f(x)有三个零点，解得k0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x
5、0附近的左侧f (x)0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f (x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值2利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f (x)(3)解方程f (x)0得方程的根(4)利用方程f (x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号(5)确定函数的极值，如果f (x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值3f (x0)0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件例如：函数f(x)x3，f (0)0但x0不是f(x)x3的极值点跟踪练习1_求下列函
6、数的极值(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).解析(1)f(x)3x26x9，令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极小值极小值当x1时，函数f(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数f(x)有极小值，且f(3)22.(2)f(x)，令f(x)0，即1ln x0，解得xe.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值由上表可知，当xe时，f(x)取极大值，f(x)极大值f(e).命题方向已知函数极值求参数典例2 (2
7、020山东临沂检测)已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a、b、c为常数(1)试确定a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间思路分析本题考查函数极值的逆向应用(1)根据f(1)3c和f(1)0即可求解；(2)根据函数的导数和单调性的关系可解决解析(1)由题意知f(1)3c，bc3c，b3.f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意f(1)0，a4b0，解得a4b12.经检验a12，b3符合题意(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，解得x1.当0x1时， f(x)1时， f(x)0，此时f(x)为增函数f
8、(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性跟踪练习2_已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间解析由已知f (x)3x26ax2b，f (1)36a2b0，又f(1)13a2b1，由解得a，b，这时f(x)x3x2x.由此得f (x)3x22x1(3x1)(x1)，令f (x)0，得x1，令f (x)0，得
9、x1，f(x)在x1的左侧f (x)0，f(x)在x1处取得极小值，故a，b，且f(x)x3x2x.它的单调递增区间是(，)和(1，)；单调递减区间是(，1)命题方向图象信息问题典例3 右图是函数yf(x)的导函数yf (x)的图象，对此图象，有如下结论：在区间(2,1)内f(x)是增函数；在区间(1,3)内f(x)是减函数；x2时，f(x)取到极大值；在x3时，f(x)取到极小值其中正确的是_(将你认为正确的序号填在横线上)思路分析给出了yf (x)的图象，应观察图象找出使f (x)0与f (x)0的x的取值范围，并区分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判断解析由f (x)的图象可见在
10、和(2,4)上f (x)0，f(x)单调递增，只有正确规律方法有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解跟踪练习3_函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)(C)A无极大值点、有四个极小值点B有一个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f
11、(x)为增函数，当x1xx2时，f (x)0和f(x)0，确定函数的单调性及极值的情况，进一步得到反映三次函数大致趋势的图；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)，主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可典例4 已知函数f(x)x3x2，g(x)kx，且f(x)在区间(2，)上为增函数(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解析(1)由题意知f(x)x2(k1)x，而方程f(x)x2(k1)x0的根的个数有限，要使f(x)在区间(2，)上为增函数，只需f(x)x2(k1)x0在区间(2，)上恒成立即可，即
12、k1x在区间(2，)上恒成立k12，故k1.k的取值范围为k1.(2)设h(x)f(x)g(x)x2kx，则h(x)x2(k1)xk(xk)(x1)，令h(x)0，得xk或x1.由(1)知k1，当k1时，h(x)(x1)20，h(x)在R上单调递增，显然不合题意；当k1时，h(x)、h(x)随x的变化情况如下表：x(，k)k(k,1)1(1，)g(x)00h(x)极大值极小值由于0，即(k1)(k22k2)0，解得k1.综上，所求k的取值范围为k1.跟踪练习4_(2019全国卷文，21)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在惟一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根
13、，且两个实根互为倒数解析(1)证明：f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，故存在惟一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在惟一的极值点(2)证明：由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在惟一根x.由x01得1x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的惟一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数易混易错警示注意极大值点与极小值点的区别 典例5 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a、b的值错解因为f(x)在x1时有极值0，且f (x)3x26axb.所以，即，解得，或 .错解分析根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x1时函数两侧的单调性，导致错误正解(在上述解法之后继续)当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3)当x3，1时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.