1、3.1 回归分析的基本思想及其初步（1）【学情分析】：教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。【教学目标】：（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度相关系数。（2）过程与方法：本
2、节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。【教学重点】： 1. 了解线性回归模型与函数模型的差异； 2. 了解两变量间的线性相关关系的强度相关系数。【教学难点】：1. 了解两变量间的线性相关关系的强度相关系数；2. 了解线性回归模型与一次函数模型的差异。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在
3、普遍性）师：提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）生：思考、讨论。问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？师：提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。生：回忆、叙述回归分析的基本过程：画出两个变量的散点图；判断是否线性相关求回归直线方程（利用最小二乘法）并用回归直线方程进行预报复习回归分析用于解决什么样的问题。复习回归分析的解题步骤二、例题选讲探究活动：对于一组具有线性相关的数据（x,y）,(x,y),(x,y),我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：=+, =其中=,=.(,)称为样本点的中心。你能推导出这两个计算公式吗？从已经学
4、过的知识我们知道，截距和斜率分别是使 Q（,）=取最小值时，的值。 由于 Q（，）= =+2+n(-),注意到 =（） =（） =（n=0,所以Q（,）=+ n() =- 2 + +n ( =n( + - + 在上式中，后两项和，无关，而前两项为非负数，因此要Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有 =， =.这正是我们所要推导的公式。 下面我们通过案例，进一步学习学习回归分析的基本思想及其应用。问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。编号12345678身高/c
5、m165165157170175165155170体重/kg4857505464614359题目中表达了哪些信息？师：读例1的要求，引导学生理解例题含义。（例题含义：数据体重与身高之间是一种不确定性的关系求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。由方程求出当x = 172时，y的值。生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程求解过程如下：画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？列表求出相关的量，并求出线性回归方程代入公式有所以回归方程为利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？当时，引导学生复习总结
6、求线性回归方程的步骤：第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算复习统计方法解决问题的基本过程。学生动手画散点图，老师用EXCEL的作图工作演示，并引导学生找出两个变量之间的关系。 学生经历数据处理的过程，并借助EXCEL的统计功能鼓励学生使用计算器或计算机等现代工具来处理数据。 三、探究新知问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。生：思考、讨论、解释解释线性回归模型与一次函数的不同从散点图可观察出，女大学生的体重和身高之间的
7、关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式
8、. 问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同引导学生在解决具体问题的过程中，通常先进行
9、相关性的检验，确认两变量间的线性相关关系的强弱再求线性回归方程。结合实例的分析和研究，正确地进行相关性检验。四、巩固练习1 假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0 画出数据的散点图； 若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程 y bx + a 的回归系数a、b； 估计使用年限为10年时，维修费用是多少？答案：散点图如图：由已知条件制成下表：12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536； ；于是有 回归直线方程是，当时，（万元）即估计使用
10、10年时维修费用是12.38万元。巩固知识五、小结1 熟练掌握求线性回归方程的步骤；画出两个变量的散点图；判断是否线性相关；求回归直线方程（利用最小二乘法）；并用回归直线方程进行预报。2 理解线性回归模型与一次函数的不同；一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.3 了解相关系数的计算与解释。相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量
11、有很强的线性相关关系。反思归纳练习与测试1 设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时，则（ C ）A平均增加个单位 B平均增加个单位C平均减少个单位 D平均减少个单位2 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）A预报变量在轴上，解释变量在轴上 B解释变量在轴上，预报变量在轴上 C可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D可以选择两个变量中任意一个变量在轴上3 已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过（ D ）A（2，2）点 B（1.5，0）点 C（1，2）点 D（1.5，4）点4 已知两个相关变量与具有线性相关关系，当取值1，2，3，4时，通过观测
12、得到的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ）A(2，4.9) B(3，8.1) C(2.5，7) D(2.5，6.75) 5 一位母亲记录了儿子39岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ）A身高一定是145.83cm B身高在145.83cm以上 C身高在145.83cm左右 D身高在145.83cm以下6 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ A ）A B C D 7
13、有下列关系：人的年龄与其拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是_。答案： 8 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）的数据，建立的回归直线方程如下：。斜率的估计等于说明_，成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）之间的相关系数_（填充“大于0“或”小于0“）。答案： 9 若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为_。解析：当时，。答案：。10 在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：时间t（s）5101520304050607090120深度y（m）610101316171923252946（1）画出散点图；（2）求腐蚀深度y对腐蚀时间t的回归直线方程.解：（1）散点图为（2）经计算可得b=0.3，a=b=19.450.346.365.542.故所求的线性回归方程为=0.3t+5.542.