1、单元形成性评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1在用二分法求方程3x3x80在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A(1，1.25) B(1.25，1.5)C(1.5，2) D不能确定【解析】选B.因为f(1)0，所以在区间(1，1.5)内函数f(x)3x3x8存在一个零点，又因为f(1.5)0，f(1.25)0，所以在区间(1.25，1.5)内函数f(x)3x3x8存在一个零点，由此可得方程3x3x80的根落在区间(1.25，1.5)内2下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数yf(x)1没有零点的
2、是()【解析】选C.把yf(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点3已知函数f(x)的图象是连续不断的，f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一个根 B至多有一个根C无实根 D必有唯一的实根【解析】选D.函数f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上必有唯一的实根4方程2x1x5的解所在的区间是()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】选C.令f(x)2x1x5，则f(2)22510，从而方程在区间(2，3)内有解5如图所示，阴影部分的面积S
3、是h的函数(0hH)，则该函数的图象是下面四个图形中的()【解析】选C.当h时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，故排除A，B，D.6已知函数f(x)f(a)2，则a()A2或2或6 B2或2C2或6 D2或6【解析】选B.因为f(x)f(a)2，所以当a0时，f(a)log2(a2)2，解得a2；当a0时，f(a)2，解得a2或a6(舍去)，综上，a2.7某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，6)进行整理，得数据如表所示：x
4、1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表格的数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是()Ay0.5(x1) Bylog3x1.5Cy2x1 Dy2 【解析】选B.根据表格的数据可得年销售量y随着年宣传费x的增长在增长，且增长速度越来越平缓，例如：当x1时，ylog311.51.5，y2 2，当x3时，ylog331.52.5，y2 3.5，故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是对数函数8(2020全国卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新
5、冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A60 B63 C66 D69【解析】选C.因为I(t)，所以I(t*)0.95K，则e0.23(t*53)19，所以0.23(t*53)ln 193，解得t*5366.9生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)202xx2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为()A18件 B20件 C
6、24件 D30件【解析】选A.设获取的利润为y，则y20xc(x)20x202xx2x218x20.所以当x18时，y有最大值10若函数f(x)x3x1在区间1，1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如表x11.51.251.3751.312 5f(x)10.8750.296 90.224 60.051 51那么方程x3x10的一个近似根(精确度0.1)为()A1.2B1.312 5C1.437 5D1.25【解析】选B.由于f(1.375)0，f(1.312 5)0，且|1.3751.312 5|0.1，故选B.11设函数f(x)若f(x)b0有三个不等实数根，则b的取值范围是()
7、A(1，) B(1，10C(1，3 D(0，3【解析】选C.作出函数f(x)的图象如图所示：f(x)b0有三个不等实数根，即函数yf(x)的图象与yb有3个不同交点，由图可知，b的取值范围是(1，3.12设函数f(x)1xx，其中x表示不超过x的最大整数，若函数ylogax的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，则实数a的取值范围是()A2，3) B(2，3 C(3，4 D3，4)【解析】选A.由题意f(x)作出f(x)的图象如图，因为ylogax的图象与yf(x)的图象恰有2个交点，故故2a3.【补偿训练】若关于x的方程x24|x|5m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是()A(2，3)
8、B2，3C(1，5) D1，5【解析】选C.因为关于x的方程x24|x|5m有四个不同的实数解，所以令f(x)|x|24|x|5(|x|2)21，h(x)m，画出函数f(x)的图象，如图所示，要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，直线h(x)m应该在直线l和直线n之间，所以1m5.二、填空题(每小题5分，共20分)13若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，则a_【解析】a0时，f(x)只有一个零点1，a0时，由14a0，得a.答案：0或14用二分法求方程x32x10的一个近似解，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为_.【解析】设f(x)x32x1，因为一根
9、在区间(1，2)上，所以根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)20，f40，所以下一步可以断定该根所在区间是.答案：15物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降到40 需要20分钟，那么此杯咖啡从40 降温到32 时，还需要_分钟【解析】由题意可得Ta24，T088，T40，可得：4024(8824)，解得h10，此杯咖啡从40 降温到32 时，可得：3224(4024)，解得t10.答案：1016已知函数f(x
10、)x|x|4x，则该函数的单调递增区间为_，若方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值集合是_【解析】函数f(x)x|x|4x作出函数f(x)的图象如图所示：由图象可得该函数的单调递增区间为(，2和2，).方程f(x)k有三个不同的实根，即f(x)的图象与yk有三个不同的交点，由图象可得4k4.答案：(，2和2，)(4，4)三、解答题(共70分)17(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)2xx，求f(x)的解析式【解析】由题意得当x0时，f(x)0，因为x0时，f(x)2xx，所以当x0时，x0，f(x)2xx，又因为函数yf(x)是定义在R上的奇函数，所以x
11、0时，f(x)f(x)2xx，综上所述，f(x)18(12分)已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1，(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值【解析】(1)因为函数的图象与x轴有两个交点，所以即整理得即当m1，且m1时，函数的图象与x轴有两个交点(2)因为函数的一个零点在原点，即点(0，0)在函数f(x)的图象上，所以f(0)0，即2(m1)024m02m10.所以m.19(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A1
12、)进行奖励记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【解析】(1)由题意知y(2)由题意知1.52log5(x9)5.5，即log5(x9)2，所以x952，解得x34.所以老张的销售利润是34万元20(12分)关于x的方程x22xa0，求a为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1?(2)方程一个根在(1，1)内，另一个根在(2，3)内？(3)方程的两个根都大于零？【解析】设f(x)x22xa，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)0，得12a0，所以a
13、1.(2)由方程一个根在区间(1，1)内，另一个根在区间(2，3)内，得即解得3a0.(3)由方程的两个根都大于零，得解得0a1.21(12分)某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0v120)的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型Fav3bv2cv.(1)求函数解析式；(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【解析】(1)由已知数据得：解得：所以Fv3v2v(0v
14、120)；(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得yFtv2v70(v80)230，因为0v120，所以当v80时，y有最小值为30，所以这辆车在该测试路段上以80 km/h速度行驶时总耗油量最少，最少为30 L22(12分)已知函数f(x)(1)计算f的值(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间(3)设函数g(x)f(x)c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围【解析】(1)由已知得f(log2)f(2)2(2)24(2)11.所以f(f(log2)f(1)112.(2)当x0时，函数f(x)2x24x12(x1)23.根据抛物线的性质知，f(x)在区间(，1)上单调递增，在区间1，0上单调递减；当x0时，函数f(x)x1，显然f(x)在区间(0，)上单调递增综上：f(x)的单调增区间是(，1)和(0，)，单调减区间是1，0.(3)作出f(x)的图象，如图：函数g(x)有三个零点，即方程f(x)c0有三个不同实根，又方程f(x)c0等价于方程f(x)c，所以当f(x)的图象与直线yc有三个交点时，函数g(x)有三个零点数形结合得，c满足1c3，即3c1.因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值范围是(3，1).