1、2019年吉林省长春市朝阳区东北师大附中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 5的绝对值是()A. 5B. 5C. 15D. 15【答案】A【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|=5.故选A根据绝对值的性质求解此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是02. 据统计，2019年长春市国际马拉松参赛人数约30000人次，30000这个数用科学记数法表示为()A. 30103B. 3103C. 3104D. 0.3105【答案】C【解析】解：30000=3104，故选：C科学记数法的表示形式为a10n的
2、形式，其中1|a|1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|5x20的解集为()A. x2B. x2C. x3D. x3【答案】C【解析】解：解不等式x20，得：x2，解不等式3x45，得：x3，则不等式组的解集为x3，故选：C分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键5. 如图，AB/CD，直线EF分别交A
3、B，CD于M，N两点，将一个含有45角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若EMB=75，则PNM等于()A. 15B. 25C. 30D. 45【答案】C【解析】解：AB/CD，DNM=BME=75，PND=45，PNM=DNMDNP=30，故选：C根据平行线的性质得到DNM=BME=75，由等腰直角三角形的性质得到PND=45，即可得到结论本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键6. 计算(a3)2的结果是()A. a5B. a5C. a6D. a6【答案】C【解析】解：(a3)2=a6故选：C根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解本题考查了幂的乘方和积的
4、乘方，掌握运算法则是解答本题关键7. 如图，在O中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若A=25，则D的大小为()A. 25B. 40C. 50D. 65【答案】B【解析】解：连接OC，CD是切线，OCD=90，OA=OC，A=25，DOC=50，D=1809050=40，故选：B连接OC，利用切线的性质和三角形的内角和解答即可此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质解答8. 如图，在第一象限内，点P(2,3)，M(a,2)是双曲线y=kx(k0)上的两点，PAx轴于点A，MBx轴于点B，PA与OM交于点C，则OAC的面积为()A. 32B. 43C. 2D. 83【答
5、案】B【解析】解：把P(2,3)，M(a,2)代入y=kx得k=23=2a，解得k=6，a=3，设直线OM的解析式为y=mx，把M(3,2)代入得3m=2，解得m=23，所以直线OM的解析式为y=23x，当x=2时，y=232=43，所以C点坐标为(2,43)，所以OAC的面积=12243=43故选：B先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k=6，a=3，再利用待定系数法求出直线OM的解析式为y=23x，然后确定C点坐标，再根据三角形面积公式求解本题考查了反比例函数y=kx(k0)中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|
6、二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 因式分解：9m21=_【答案】(3m+1)(3m1)【解析】解：原式=(3m+1)(3m1)故答案为：(3m+1)(3m1)直接利用平方差公式分解因式得出答案此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键10. 若一元二次方程x26x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为_【答案】9【解析】解：关于x的一元二次方程x26x+m=0有两个相等的实数根，=b24ac=364m=0，解得：m=9，故答案为：9满足=b24ac=0，得到有关m的方程即可求出m的值此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)0方程有两个不相等的实数根
7、；(2)=0方程有两个相等的实数根；(3)0)的图象上，且BC/x轴.将ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点A落在此函数的图象上，则平移的距离为_【答案】4【解析】解：设OA=x三角形ABC是等腰直角三角形，BC/x轴，OAB=ABC=45，OBA=45=OAB，OB=OA=x，B(0,x)作ADBC于D，则AD=BD=DC=x，C(2x,x)点C在函数y=8x(x0)的图象上，2xx=8，x0，x=2，将ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点A落在此函数的图象上，点A与点A的横坐标相同，都是2，把x=2代入y=8x，得y=4，平移的距离AA为4故答案为4设OA=x，求出B(0,x).作AD
8、BC于D，根据等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC=x，那么C(2x,x).由点C在函数y=8x(x0)的图象上，得出2xx=8，求出x=2，再利用平移的性质可得点A与点A的横坐标相同，都是2，然后把x=2代入y=8x，求出y=4，即为平移的距离AA的长本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形变化平移三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15. 先化简，再求值：1x21x2+2x+1x1x，其中x=2【答案】解：1x21x2+2x+1x1x=1(x+1)(x1)(x+1)2xx1=1xx+1
9、=1x+1，当x=2时，原式=12+1=1【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法16. 在一个不透明的口袋中有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其他都相同.从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀；再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色.请用画树状图(或列表)的方法，求两次摸到的球颜色不同的概率【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不同的结果数为6，所以两次摸到的球颜色不同的概率=69=23【解析】画树状图展示所有9种等可
10、能的结果数，再找出两次摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）17. 某市为了在冬季下雪时更好的清扫路面积雪，新购进一批清雪车.每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km，每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km？【答案】解：设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，由题意，得25x=35x+2，解得x=5，经检验x=5是原方程的
11、解，且符合题意答：每辆旧清雪车每小时清扫路面5km【解析】设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，根据每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，列出方程求解即可本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.本题的等量关系是每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同18. 为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统
12、计图回答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了_名市民(2)扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是_(3)请补全条形统计图【答案】2019；108【解析】解：(1)本次调查的市民人数为80040%=2000(人)，故答案为：2019；(2)C分组人数为2000(100+800+200+300)=600人，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是3606002000=108，故答案为：108；(3)补全条形统计图如下：(1)根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数；(2)先求得C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比360进行计算即可；(2)根据C组的人数，补全条形统计图此题考查
13、了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19. 如图，在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF/BC交BE的延长线于点F，连结CF.试说明：四边形ADCF是平行四边形【答案】解：AF/BC，AFE=EBD，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEB中AFE=EBDAEF=BEDAE=ED，AEFDEB(AAS)，AF=BD，AD是BC边的中线，BD=CD，AF=DC又AF/BC，四边形ADCF是平行四边形【解析】首先证明AEFDEB
14、，可得AF=BD，再由条件可得BD=CD，进而可得AF=DC，再加上条件AF/BC，可得四边形ADCF是平行四边形此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握组对边平行且相等的四边形是平行四边形20. 如图，某游客在山脚下乘览车上山.导游告知，索道与水平线成角BAC为40，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC(精确到1米)(参考数据：sin40=0.64，cos40=0.77，tan40=0.84)【答案】解：由题意可知，AB=6011=660在ABC中，ACB=90sinBAC=sin40=BCABBC=6600.64=422.4422(米)答：山的高度BC约
15、为422米【解析】由题意可得，BAC=40，AB=660米，根据40的正弦可求出BC的值此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题.主要用到：正弦等于对边比斜边21. 某景区的三个景点A、B、C在同一线路上.甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点C.甲、乙两人距景点A的路程y(米)与甲出发的时间x(分)之间的函数图象如图所示(1)乙步行的速度为_米/分(2)求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式(3)甲出发多长时间与乙第一次相遇？【答案】80【解析】解：(1)乙步行的速度为：(5400
16、3000)(9060)=80(米/分)故答案为：80(2)设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k0)，将(20,0)，(30,3000)代入y=kx+b得：30k+b=300020k+b=0，解得：b=6000k=300，乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=300x6000(20x30)(3)甲步行的速度为：540090=60(米/分)，甲步行y与x之间的函数关系式为y=60x联立两函数关系式成方程组，y=60xy=300x6000，解得：y=1500x=25，甲出发25分钟与乙第一次相遇(1)根据速度=路程时间，即可求出乙步行的速度；(2)观察函数图象，找出两点的
17、坐标，利用待定系数即可求出乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；(3)根据速度=路程时间求出甲步行的速度，进而找出甲步行时y与x之间的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，通过解方程组即可求出二者第一次相遇的时间本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据速度=路程时间，求出乙步行的速度；(2)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；(3)联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标22. 【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，ADC=90，AB=AC.点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，DE.试说明：DE=EF【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分BAD，D
18、EF=90时，求BAD的大小【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB=2，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积【答案】解：【问题原型】证明：在ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点EF/AB，且EF=12AB在RtACD中，点E为AC的中点DE=12ACAB=AC，DE=EF【探究】解：AC平分BAD，EF/AB，DE=12AC=AE=ECBAC=DAC，CEF=BACDEC=2DAC=BADDEF=90CEF+DEC=BAC+2DAC=90BAC=DAC=30，BAD=60【应用】四边形ABCD的面积为：332四边形CDEF是菱形，EC=DE，CDE与CEF都是等边三角
19、形，AB=2，EF=DE=CD=CF=1SDCE=SDEA=SCEF=34，EF/AB，SCEFSABC=(12)2，SABC=4SCEF=3S四边形ABCD=SDCE+SDEA+SABC=234+3=332【解析】【问题原型】利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；【探究】先证明CEF=12BAD，DEC=BAD，根据DEF=90列方程得BAD的度数；【应用】由四边形CDEF是菱形，说明CDE是等边三角形，再根据等底同高说明CDE与DEA间关系，根据相似说明CAB与CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论本题考查了三角形的中位线定
20、理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识.题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律23. 如图，在ABC中，B=90，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿边AC向终点C运动，E点出发的同时，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH，设点F运动的时间为t秒(t0)(1)用含t的代数式表示点E到边AB的距离；(2)当点G落在边AB上时，求t的值；(3)连结BG，设BFG的面积为S个平方单位(S0)，求S与t之间的函数关
21、系式；(4)直接写出正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时的t值【答案】解：(1)如图1，过E作EDAB于D，由题意得：AE=5t，RtABC中，由勾股定理得：AC=BC2+AB2=22+42=25，sinA=DEAE=BCAC，DE5t=225，DE=t，则点E到边AB的距离是t；(2)当点G落在边AB上时，如图2，此时EFAB，由(1)得：EF=t，BF=2t，AF=42t，tanA=BCAB=EFAF=24=12，t42t=12，t=1；(3)分两种情况：当0t1时，如图3，过E作EDAB于D，过G作GPAB于P，ED=t，AD=2t，BF=2t，FD=44t，易证GPFFD
22、E，GP=DF=44t，S=SBFG=12BFGP=122t(44t)=4t2+4t(0t1)；当1t2时，如图4，过E作EMBC于M，过G作GNBC于N，易证EMFFNG，GN=FM，EM=t，AM=2t，BM=42t，FM=GN=2t(42t)=4t4，S=SBFG=12BFGN=122t(4t4)=4t24t(1t2)；综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=4t24t(1t2)4t2+4t(0t1)；(4)正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时，如图5，此时E与C重合，F与A重合，t=2【解析】(1)作垂线段ED，根据三角函数求DE的长，即是点E到边AB的距离；(2)当点G
23、落在边AB上时，如图2，此时EFAB，根据同角的三角函数列式可求得t的值；(3)分两种情况：当0t1时，如图3，作高线GP，根据GPFFDE，则GP=DF=44t，代入面积公式求S即可；当1t2时，如图4，同理作高线求出结论；(4)当E与C重合，F与A重合时，AH=CG，则t=2本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及三角形面积的求法等知识点.试题难度不大，需要注意的是(3)问中，在两动点运动过程中，BFG的面积符合一个函数关系式，本题的关键是用含时间的代数式准确表示BF和AE的长度24. 我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交
24、点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x5的友好同轴二次函数为y=x22x5(1)请你分别写出y=13x2，y=13x2+x5的友好同轴二次函数；(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？(3)如图，二次函数L1：y=ax24ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m(0m2)，它们关于L1的对称轴的对称点分别为B，C，连结BB，BC，CC，CB若a=3，且四边形BBCC为正方形，求m的值；若m=1，且四边形BBCC的邻边之比为1：2，直接写出a的值【答案】
25、解：(1)1(13)=43，函数y=13x2的友好同轴二次函数为y=43x2；113=23，1(2313)=2，函数y=13x2+x5的友好同轴二次函数为y=23x2+2x5(2)11=0，二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；12=12，二次项系数为12的二次函数的友好同轴二次函数是它本身(3)二次函数L1：y=ax24ax+1的对称轴为直线x=4a2a=2，其友好同轴二次函数L2：y=(1a)x24(1a)x+1a=3，二次函数L1：y=ax24ax+1=3x212x+1，二次函数L2：y=(1a)x24(1a)x+1=2x2+8x+1，点B的坐标为(m,3m212m+1)，点C的
26、坐标为(m,2m2+8m+1)，点B的坐标为(4m,3m212m+1)，点C的坐标为(4m,2m2+8m+1)，BC=2m2+8m+1(3m212m+1)=5m2+20m，BB=4mm=42m四边形BBCC为正方形，BC=BB，即5m2+20m=42m，解得：m1=111015，m2=11+1015(不合题意，舍去)，m的值为111015当m=1时，点B的坐标为(1,3a+1)，点C的坐标为(1,3a2)，点B的坐标为(3,3a+1)，点C的坐标为(3,3a2)，BC=|3a2(3a+1)|=|6a3|，BB=31=2四边形BBCC的邻边之比为1：2，BC=2BB或BB=2BC，即|6a3|=
27、22或2=2|6a3|，解得：a1=16，a2=76，a3=13，a4=23，a的值为16、76、13或23【解析】(1)根据友好同轴二次函数的定义，找出y=13x2、y=13x2+x5的友好同轴二次函数即可；(2)由二次项系数非零可得出二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数，由友好同轴二次函数的定义可知：二次项系数为12的二次函数的友好同轴二次函数是它本身；(3)根据二次函数L1的解析式找出其友好同轴二次函数L2的函数解析式代入a=3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B、C的坐标，进而可得出BC、BB的值，由正方形的性质可得出BC=BB，即关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出结论；由m=1，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B、C的坐标，进而可得出BC、BB的值，由两边之比为1：2，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、解一元二次方程以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：(1)仔细读题，掌握友好同轴二次函数的应用；(2)根据友好同轴二次函数的定义，找出结论；(3)利用二次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，找出关于m的一元二次方程；利用二次函数图象上点的坐标特征结合四边形相邻两边的关系，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程
