1、第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径(重点)2会在不同条件下求圆的一般式方程(重点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当 时，二元二次方程 x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为_，半径长为_D2E24F0D2，E212 D2E24
2、F思考：所有形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程都表示圆吗？提示 不是，只有当 D2E24F0 时才表示圆D D22，E23，圆心坐标是(2，3).1圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A.(2，3)B(2，3)C.(2，3)D(2，3)D 方程表示圆114k0k12.2方程 x2y2xyk0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为()A.k12Bk12C.k12Dk0，解得 k1.故实数 k 的取值范围是(，1).故选 B.(2)由题可得 a2a2，解得 a1 或 a2.当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为 5.当 a2 时，方程不表示圆形如
3、 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令 D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟进训练1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解(1)方程 2x2y27y50 中 x2 与 y2 的系数不相同，它不能表示圆(2)方程 x2xyy26x7y0 中含有 xy
4、这样的项它不能表示圆(3)方程 x2y22x4y100 化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆(4)方程 2x22y25x0 化为x542y2542，它表示以54，0 为圆心，54为半径的圆求圆的一般方程【例 2】求经过两点 A(4，2)，B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程解 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1x2D；令 x0，得 y2EyF0，所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1y2E；由题设，x1x2y1y2(DE)2，所以 DE2.又 A(4，2)，B(1，3)两点在圆上，所以 1644D2
5、EF0，19D3EF0，由可得 D2，E0，F12，故所求圆的方程为 x2y22x120.待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D、E、F.跟进训练2求经过点 A(2，4)且与直线 x3y260 相切于点 B(8，6)的圆的方程解 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为D2，E2.圆与 x3y260 相切于点 B，6E28D213 1，即 E3D360.(2，4)，(
6、8，6)在圆上，2D4EF200，8D6EF1000.联立，解得 D11，E3，F30，故所求圆的方程为 x2y211x3y300.与圆有关的轨迹方程问题探究问题1已知点 A(1，0),B(1，0)，则线段 AB 的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？提示 线段 AB 的中点轨迹即为线段 AB 的垂直平分线，其方程为 x0.2已知动点 M 到点(8，0)的距离等于点 M 到点(2，0)的距离的 2倍，你能求出点 M 的轨迹方程吗？提示 设 M(x，y)，由题意有（x8）2y22（x2）2y2，整理得点 M 的轨迹方程为 x2y216.【例 3】点 A(2，0)是圆 x2y24 上的定点，点 B(
7、1，1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程思 路 探 究：(1)设点P坐标 用P，A坐标表示 点M坐标求轨迹方程(2)设点N坐标探求点N的几何条件建方程化简得轨迹方程解(1)设线段 AP 的中点为 M(x，y)，由中点公式得点 P 坐标为 P(2x2，2y).点 P 在圆 x2y24 上，(2x2)2(2y)24，故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONP
8、Q，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2y2xy10.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x，y)；(2)列出点 M 满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点跟进训练3已知ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3，求顶点 C 的轨迹方程解 以直线 AB 为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系(如图)，则 A(2，0)，B(2，0)，设 C(x，y)，BC 中点
9、D(x0，y0).2x2 x0，0y2 y0.|AD|3，(x02)2y209.将代入，整理得(x6)2y236.点 C 不能在 x 轴上，y0.综上，点 C 的轨迹是以(6，0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(12，0)和(0，0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0).课 堂 小 结 提 素 养 1圆的一般方程 x2y2DxEyF0，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件标准方程一般方程(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心在 x 轴上(xa)2y2r2x2y2DxF0圆心在 y 轴上x2(yb)2y2x2y2
10、EyF0过(0，0)(xa)2(yb)2a2b2x2y2DxEy02.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养3涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤A 方程 2x22y24x8y100，可化为 x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程 2x22y24x8y100 表示点(1，2).1方程 2x22y24x8y100 表示的图形是()A一个点 B一个圆C一条直线D不存在C 由(3a)2a2452a2a1 0，得 a1，满足条件的 a 只有2 与 0，所以方
11、程 x2y23axay52a2a10 表示的圆的个数为 2.2若 a2，0，1，3，则方程 x2y23axay52a2a10 表示的圆的个数为()A0 B1C2 D3x2y26x8y480 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可3圆心是(3，4)，经过点 M(5，1)的圆的一般方程为_4 由题意，知 D4，E8，r（4）2824F24，F4.4若方程 x2y2DxEyF0 表示以(2，4)为圆心，4 为半径的圆，则 F_5已知圆心为 C 的圆经过点 A(1，0)，B(2，1)，且圆心 C 在 y轴上，求此圆的一般方程解 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0.圆心 C 在 y 轴上，D0.又A(1，0)，B(2，1)在圆上，1202F0，2212EF0，解得E4，F1，所以所求的圆的一般方程为 x2y24y10.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
