1、高 2023 届高三一诊模拟考试 数学试题（理科）考试时间：120 分钟 总分：150 分 一选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求把答案涂在答题卷上）1已知集合 AxxxZ2302，Bx x|1，则集合AB 的元素个数为()A1B 2C 3D 42若复数 z 满足 z(1)i 1 i，则 z 的虚部是（）A1B 1CiDi3“m17”是“方程mmxy17122表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 B OC O1，A O23，那么原ABC
2、 的面积是（）A3B2 2C23D435已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为 8 和 6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 2，则母线长为（）A4B8C10D166一种药品在病人血液中的量不低于 1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为 0mg，用药后，药在血液中以每小时 20%的比例衰减现给某病人静脉注射了 3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301，结果精确到 0.1）（）A2.7B2.9C3.1D3.37如图所示的程序框图中，若输出的函数值 f x()在区间 2,2内，则输入的实数 x 的取值范围是（）A
3、 2,2B 2,4C 1,2D 1,415为了测量成都七中曦园C D,两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的 A B,两点，点 B 在点 A 的正东方向上，且 A B C D,四点在同一水平面上从点 A处观测得点C 在它的东北方向上，点 D 在它的西北方向上；从点 B 处观测得点C 在它的北偏东15 方向上，点 D 在它的北偏西75 方向上，则C D,之间的距离为_百米.16.已知A 2cos15,2sin15，O 0,0，且OBOC2,则AB AC 的取值范围是_.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答、第
4、 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分，每题 12 分.17.已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别记作 a，b，c，满足a6，b5，且ABsinsin2(1)求边c；(2)若点 M，N 分别在边 AB 和 AC 上，且 MN 将ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值18.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战。当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传
5、染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关70,80知识有奖竞赛（满分 100 分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 80,90内的学生获二等奖，得分在 90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.竞赛成绩30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100人数61218341686(1)从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，求这 2 名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该
6、市所有参赛学生的成绩 X 近似地服从正态分布 N(64,225)，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取 4 名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在 64 分以上的学生人数为，求随机变量 的分布列和数学期望.19.如图所示，已知ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 M，N 分别是边 AB，AC 的三等分点，且AMAB31，CNCA31，沿 MN 将AMN 折起到 A MN 的位置，使A MB90(1)求证：A M平面 MBCN；(2)在线段 BC 上是否存在点 D，使平面A ND 与平面A MB 所成锐二面角的余弦值为1339，若存在，设BDBC0，求 的值；若不存在，说明理由20.已知
7、椭圆ab Cabxy:1(0)2222且四个点 A(2,3)、B 2(,3)3、C(2,3)、D2(3,)7 中恰好有三个点在椭圆 C 上，O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且AOB90，证明：直线 l 与定圆O xyrr:(0)222相切，并求出 r 的值.21.设函数u xxaxaln,函数v xxaxxa aR2ln()12.（1）求u x的单调区间；（2）若f xv xu x()()，g xfx()()0有三个不同实根x x x xxx,()123123，试比较 f xf xf x(),(),()123 的大小关系，并说明理由.
8、（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 yx2sin12cos，0,2，点,A3 0，以坐标原点 O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)过坐标原点 O 任作直线 l 与曲线 C 交于 E、F 两点，求AE AF|的值23.已知、ab cR，R x，不等式xxabc12恒成立.（1）求证：abc31222；（2）求证：abbcca2222222.1高 2023 届高三一诊模拟考试 数学参考答案（理科）一选择题1 2 3 4 5 6 7
9、 8 9 10 11 12 C B B A A C D C A B D D 二填空题13、1414、415、216、2,16 三解答题17.解：（1）因为ABBBsinsin22sin cos，所以BbBAa2sin22 55cossin63，因为B20,，所以B5sin4，又ABBB25sinsin22sin cos24，且 A 为锐角，所以A25cos7，所以 CABABAB5coscossin sincos cos3因为CBcoscos所以CB 所以cb5 5 分（2）设AMm，ANn，根据题设有SSAMNABC21，所以mnAbcA222sinsin111，可得mn225，7 分所以M
10、NmnmnAmnmn252cos21814222，当且仅当mn25 2 时等号成立所以 MN 的最小值为3 2 12 分18.解：（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的 6 人，获二等奖的 8 人，获三等奖的 16 人，共 30 人，则 70 人没有获奖，所以从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，这 2 名学生恰有一名学生获奖的概率为PC50 993330 7014C C1002307011.5 分（2）因为该校所有参赛学生的成绩 X 近似地服从正态分布 N(64,225)，所以64，所以P X2(64)1，即从所有参赛学生中随机抽取 1 名学生，该生成绩在 64 分以上的概率为 2
11、1，所以随机变量B24,1，所以 Pkkkkkk222()CC(0,1,2,3,4)1114444，所以P216(0)C11404，P24(1)C11414，P28(2)C13424，P24(3)C11434，P216(4)C11444，7 分所以 的分布列为01234P161418341161 10 分所以E2()421.12 分19.解：(1)证明：ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 M，N 分别是边 AB，AC 的三等分点，且AMAB31，3有k tktkt644(14)(416)01642 22222，kxxkt148212，kx xt1 441621 22，因AOB90，则OA
12、OBx xy yx xkxt kxtkx xkt xxt()()(1)()12121212121222kkktktk ttk1 41 41 40(1)(416)8516 162222222 222，整理得tk5(1)1622，满足 0，原点 O 到直线 l 的距离kkdtt1155|164 5222，综上得：原点 O 到直线 l 的距离恒为54 5，即直线 l 与圆xy51622相切，所以直线 l 与定圆O xyrr:(0)222相切，r54 5.12 分21.解：（1）由已知xu xa(),1当a0 时，xf()0 在(0,)恒成立，f x()在(0,)上单调递增；2 分当a0 时，由xfx
13、a()01得 ax1，若 ax01 时，f x()0,f x()在a0,1上单调递增，若 ax1 时，f x()0,f x()在a,1上单调递减；综上，当a0 时，f x()的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间；当a0 时，f x()的单调递增区间为a(0,)1，单调递减区间为a(,)1；5 分（2）解：由题意得：（f xxaxaxx aRx21 ln0),12xxg xfxxaaxxax xax()()lnln(0),11 xxxg xxaxax()1(0)11222令 h xxaxxa()1(0),422当 a22时，h x()0，g x()0，g x()在(0,)上递增；不满足g x
14、fx()()0有三个不同实根；当 a2 时，h xxaxx()1(0),2h x()0，g x()0，g x()在(0,)上递增；也不满足g xfx()()0有三个不同实根；当a2 时，由h x()0得xxaaaa22,444522，g x()在aa20,42上递增，在aaaa22,4422上递减，在aa2,42上递增.g xfx()()0有三个不同实根x x x xxx,()123123，7 分显然g(1)0，且aaaa221,14422，xxx1,01,1213.由xg xxax()ln01的结构特征得 mg mg()()1,xg xg()()111xg xg()()0113，即xx113
15、，即x x113由 g x()的单调性可知，当xxx12 时，g x()0，f x()递增；当xxx23时，g x()0，f x()递减.f xf xf xf x()(),()()1232.8 分由得xxxg xxaxaxln()ln1133333332，又f xxxa xxx2ln(ln)12，4xxxxxf xf xf xfxxa xxx2()()()()()2ln(lnln)111111333332313333332，xxxxxxa xxxxxln(lnln)111(1)13333332233333224，xxxf xf xxxxx2ln()()2ln4ln411133322313333
16、222，令xt t(1)32,则xxttxxxxtttt2ln4ln4=42ln2ln1111332233332222，令 ttG ttttt t()42ln2ln(1)112，tG ttttt()3(1)(41)ln222,令 ttttt t()3(1)(41)ln(1)22,ttttt()52(2)ln41，tttt()2ln3142，ttt()02(1)32,t()在(1,)上递减，t()(1)0，t()在(1,)上递减，t()(1)0，t()在(1,)上递减，t()(1)0，则G t()0，G t()在(1,)上递减,G tG()(1)0,f xf x()()31,f xf xf x3
17、12,综上：f xf xf x(),(),()123 的大小关系为：f xf xf x312.12 分22.解：（1）曲线C 的平面直角坐标系方程为xy(1)422，故曲线C 的极坐标方程为2cos3024 分（2）设直线l 的倾斜角为，则 EF(,),(,)12，2cos302，由韦达定理可知 312由余弦定理可知 AEOAOEOA OEAOE|2cos96cos()112223(2cos3)3211111222,AFOAOFOA OFAOF|2cos96cos222223(2cos3)3222222222,AE AF|412|1210 分23.解：（1）因为 xxxx12121，所以abc1，因为abab222，bcbc222，caac222，所以abcabbcac222222222，所以 abcabcabbcaca b c333222()12222222，故abc31222.5 分（2）因为abab222，所以abababab2222222，即abab2222，两边开平方得aba ba b22()2222，同理可得（cbc b2)222，caca2222，三式相加，得abbccaa b c2()2222222.10 分