1、第二章 函数、导数及其应用 第十四节 定积分与微积分基本定理(理)第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理一、定积分的性质 1.bakf(x)dx kbaf(x)dx(k 为常数)；2.baf1(x)f2(x)dxbaf1(x)dxbaf2(x)dx；3.baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx(其中 ac0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a_解析 由已知得 Sa0 xdx23x32|a023a32a2，所以 a1223，所以 a49.答案 49第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1利用微积分基本定理(即牛顿莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满
2、足F(x)f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的一个原函数F(x)，其过程实际上是求导运算的逆运算，即运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)2定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负第二章 函数、导数及其应用 典题导入求下列函数的定积分(1)21(x22x1)dx；(2)0(sin xcos x)dx；(3)21|32x|dx.定积分的计算第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 规律方法应用微积分基本定理求定积分baf(x)dx 时，可按以下两步进行：第一步：求使 F(x)f(x)
3、成立的 F(x)；第二步：计算 F(b)F(a)第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1求下列定积分(1)20(4x33x2x)dx；(2)20|1x|dx.解析(1)20(4x33x2x)dx 204x3dx203x2dx20 xdx x4|20 x3|2012x2|20 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 典题导入(2012上海高考)已知函数 yf(x)的图象是折线段ABC，其中 A(0，0)、B12，1、C(1，0)函数 yxf(x)(0 x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_定积分在几何中的应用第二章 函数、导数及其应用 听课记录 由题知 yf(x)2x，0 x1
4、2，22x，12x1，则 yxf(x)2x2，0 x12，2x2x2，12x1，第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 互动探究在本例条件下，求 yxf(x)(0 x1)的图象与直线 yx 和 x1 所围成的图形的面积解析 如图阴影部分的面积为所求 由题意得，所求面积 S 等于AOB的面积减去本例中所求面积，即 S121414.第二章 函数、导数及其应用 规律方法利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图；(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分，写出答案第二章 函数、导数及其
5、应用 跟踪训练2(1)(2014合肥模拟)计算10 1x2dx_解析 令 y 1x2，则 y21x2(y0)，即 x2y21(y0)，其图形为在 x 轴上方的半圆，如图，则10 1x2dx 的值为阴影部分的面积，所以所求值为14124.答案 4第二章 函数、导数及其应用(2)(2014东北三省四市联考)向平面区域(x，y)|0 x 2，0y1内随机投入一点，则该点落在曲线yx3，0 x1，2x2，1x 2下方的概率等于_第二章 函数、导数及其应用 解析 因为 S110 x3dxx441014，S218(2)212114 12，所以 P144 122 22 4 14.答案 22 4 14第二章
6、函数、导数及其应用 典题导入(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2定积分在物理中的应用第二章 函数、导数及其应用 听课记录 由于 v(t)73t 251t，且汽车停止时速度为 0，因此由 v(t)0 可解得 t4，即汽车从刹车到停止共用 4 s.该汽车在此期间所行驶的距离答案 C第二章 函数、导数及其应用 规律方法利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时，关键
7、是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_ J(x的单位：m，力的单位：N)第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用【创新探究】定积分与概率求法的创新问题(2012福建高考)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()第二章 函数、导数及其应用 A.14 B.15C.16D.17【思路
8、导析】利用定积分求出阴影部分的面积后，根据几何概型求概率 第二章 函数、导数及其应用【解析】由图象知阴影部分的面积是 10(xx)dx23x3212x2 10231216，所求概率为16116.【答案】C第二章 函数、导数及其应用【高手支招】定积分的计算常与概率求法、二项式定理的应用等交汇创新命题，解决此类创新问题的关键在于一是准确计算定积分的值，二是利用交汇点解决所给出的问题第二章 函数、导数及其应用 体验高考1(2013北京高考)直线 l 过抛物线 C：x24y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于()A.43B2C.83D.16 23第二章 函数、导数及其应用
9、C 由题意可知，l 的方程为 y1.如图，B 点坐标为(2，1)，所求面积 S4220 x24dx42x3122083，故选 C.第二章 函数、导数及其应用 2(2013江西高考)若 S121x2dx,S2211xdx,S321exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1第二章 函数、导数及其应用 B S121x2dx13x3|2173，S2211xdxln x|21ln 2，S321exdxex|21e2ee(e1)e73，所以 S2S1S3，故选 B.第二章 函数、导数及其应用 3(2013湖南高考)若T0 x2dx9，则常数 T 的值为_解析 因为T0 x2dx13T39，所以 T3.答案 3第二章 函数、导数及其应用 课时作业