1、第六章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法设 f(n)112131n(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：当 n2 时，左边f(1)1，右边21121 1，左边右边，等式成立 假设 nk(k2，kN*)时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f（k1）1k1 k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当 nk1 时结论仍然成立 由可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)1用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”
2、，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是多少 2由 nk 时命题成立，推出 nk1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明：(1)当 n1 时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当 nk1 时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k133(2k1)(2k1
3、)2k1135(2k1)(2k1)所以当 nk1 时，等式成立 由(1)(2)知，对任意 xN*，原等式成立(2015陕西卷改编)设 fn(x)1xx2xn，gn(x)（n1）（xn1）2，x0，且 x1.用数学归纳法证明当 n2 时，fn(x)gn(x)证明：(1)当 n2 时，f2(x)g2(x)12(1x)2，又x1，f2(x)g2(x)0，f2(x)g2(x)成立(2)假设 nk(k2)时，不等式成立，即 fk(x)gk(x)那么，当 nk1 时，fk1(x)fk(x)xk10)，则 hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当 0 x1 时，hk(x)1 时
4、，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增 所以 hk(x)hk(1)0，从而 gk1(x)2xk1（k1）xkk12.故 fk1(x)gk1(x)，即 nk1 时不等式也成立 由(1)和(2)知，对一切 n2 的整数，都有 fn(x)gn(x)1当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法 2用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 时命题成立，再证 nk1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(nN
5、*，n2)证明：(1)当 n2 时，1 1225421232，命题成立(2)假设 nk(k2，kN*)时命题成立，即 1 122 132 1k221k.当 n k 1 时，1 122 132 1k2 1（k1）22 1k1（k1）2x4x6 猜想：数列x2n是递减数列 下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，已证命题成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时命题成立，即 x2kx2k2，易知 xk0，那么 x2k2x2k411x2k111x2k3 x2k3x2k1（1x2k1）（1x2k3）x2kx2k2（1x2k）（1x2k1）（1x2k2）（1x2k3）0，即 x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当 nk1 时命题也成立 结合(1)、(2)知，对nN*命题成立
