1、3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1若x0，y0，且xy4，则下列不等式中恒成立的是()AB1C2D1答案B解析取x1，y2满足xy4排除A、C、D选B具体比较如下：00，b0且ab4，则下列不等式恒成立的是()AB1C2D答案D解析a0，b0，ab4，2，ab4，1，故A、B、C均错，选D点评对于D有，a2b2(ab)22ab162ab16248，.4实数x、y满足x2y4，则3x9y的最小值为()A18B12C2D答案A解析x2y4，3x9y3x32y22218，等号在3x32y即x2y时成立x2y4，x2，y1时取到最小值18.5(2016云南师大附中高三月考)已知abt(a0，b0)
2、，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于()A2B4C2D2答案C解析当a0，b0时，ab，当且仅当ab时取等号因为ab的最大值为2，所以2，t28，所以t2.故选C6若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2B2,0C2，)D(，2答案D解析2x2y2，21，2xy22，xy2，故选D二、填空题7已知x、yR，且满足1，则xy的最大值为_答案3解析x0，y0且12，xy3，当且仅当，即x，y2时取等号8已知a、b为实常数，函数y(xa)2(xb)2的最小值为_答案(ab)2解析从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)但若注意到(xa)(bx)为
3、定值，则用变形不等式()2更简捷y(xa)2(xb)222.当且仅当xabx，即x时，上式等号成立当x，ymin.三、解答题9已知正常数a、b和正实数x、y，满足ab10，1，xy的最小值为18，求a、b的值解析xy(xy)1(xy)()abab2()2，等号在即时成立xy的最小值为()218，又ab10，ab16.a、b是方程x210x160的两根，a2，b8或a8，b2.10.设x0，y0，且x21，求x的最大值解析x0，y0且x21，x，当且仅当2x21y2，即x，y时等号成立x的最大值为.一、选择题1已知a0，b0，且ab1，则的最小值为()A6B7C8D9答案D解析ab1，a0，b0
4、，ab，等号在ab时成立119，故选D2若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()ABC2D4答案D解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(1,2)，2a2b20，即ab1，(ab)11224(等号在ab时成立)故所求最小值为4，选D3当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2，)C3，)D(，3答案D解析x1，xx11213(当x2时等号成立)要使xa恒成立，则须使a3.4已知正数x、y满足1，则xy有()A最小值B最大值16C最小值16D最大值答案C解析x0，y0
5、，24，又1，41，xy16，故选C二、填空题5一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2 km，则这批物资全部运送到灾区最少需_ h.答案8解析物资全部运到灾区需t8 h，等号成立时，即v100.故最少要用8 h.6若正实数x、y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解析x0，y0，2xy2，2xy6xy26，()2260，解得3，即xy18.三、解答题7已知函数f(x)lgx(xR)，若x1、x2R，判断f(x1)f(x2)与f()的大小并加以证明解析f(x1)f(x2)f()f(x1)f(x2)lgx1lg
6、x2lg(x1x2)，f()lg，而x1、x2R，x1x2()2，而f(x)lgx在区间(0，)上为增函数lg(x1x2)lg()2，lg(x1x2)lg.即(lgx1lgx2)lg.因此，f(x1)f(x2)f()8. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解析(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z40x245y20xy40x90y20xy，仓库面积Sxy.由条件知z3 200，即4x9y2xy320.x0，y0，4x9y212.6S160，即()261600.010，0S100.故S的取值范围是(0,100(2)当S100 m2时，4x9y，且xy100.解之得x15(m)，y(m)答：仓库面积S的取值范围是(0,100，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.