1、长春市第八中学2020-2021学年上学期高一数学 竞赛时间：11月9日一、单项选择题：本题共18小题，每小题5分，共90分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则下列结论正确的是 A. B.AB=3C. AB=2,4,5D. 2. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 3. 已知，则实数a的值为A. 3B. 4C. 3或4D. 无解4. 设，B=-1，2，则必有 A. B. C. D. 5. 下列命题中：“”是“”的充分不必要条件定义在上的偶函数最小值为命题“，都有”的否定是“，使得”已知函数的定义域为，则函数的定义域为. 正确命题
2、的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个UAB6. 已知全集，集合，B=x|x2+x-20，则图中的阴影部分表示的集合为A. (-2,0)1,2 B.(-2,0(1,2C.(-,0)2,+) D. (-,0(2,+) 7. 函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是A. B. C. D. 8. 下列各式中，正确的个数是 ；2，；2，；A. 1B. 2C. 3D. 49. 符合条件 b，b，c，d，的集合P的个数是A. 3B. 4C. 7D. 810. 已知函数满足，则等于 A. 4043B. 4037C. 2017D. 202311. 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B
3、. 或C. 或D. 或12. 已知奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为9，最小值为2，则等于 A. 5B. C. 10D. 13. 设非空集合P，Q满足PQP，则 A. xQ，有xP B. xQ，有xP C. xQ，使得xP D. xP，使得xQ14. 已知函数是定义在R上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 15. 已知函数现有如下说法：函数是奇函数；函数在定义域上单调递增；函数无最值则上述说法正确的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 316. 函数的值域为 A. B. C. D. 17. 已知函数若对任意，且，有成立，则实数a的值是 A. 2B.
4、 C. D. 118. 已知定义在R上的函数，若函数为偶函数，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.19. 下列图象不能表示定义域M=x|0x1，值域N=y|0y1的函数是 A. B. C. D. 20. 下列各组函数表示不同函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，21. 已知，a为大于0的常数，则的值域可能为A. B. R C. D. x123452342322. 已知可用列表法表示如下：若，则x可以取A. 2 B.
5、3 C. 4 D. 523. 设函数是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质P，那么下列选项中，具有性质P的函数是A. B. C. D. 24. 下列说法正确的是 A. 的最小值是2B. 的最小值是C. 的最小值是2D. 的最大值是25. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是A. B. C. D. 26. 下列说法中错误的是A. 不等式恒成立 B. 若，则C. 若满足，则 D. ，使成立27. 下列叙述不正确的是A. 的解是B. “”是“”的充要条件C. 已
6、知，则“”是“”的充分不必要条件D. 函数的最小值是28. 已知函数，下列说法错误的是A. 的最大值为3，最小值为1 B. 的最大值为，无最小值C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为3，最小值为29. 某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示如图，下列关于函数的描述，描述正确的是 A. 的图象是中心对称图形B. 的图象是轴对称图形C. 函数的值域为D. 方程有两个解30. 几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有图形如图所示，C为线段
7、AB上的点，且，O为AB的中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为则该图形可以完成的所有的无字证明为 A. B. C. D. 答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的基本关系和基本运算，属于基本题型根据基本关系和基本运算逐一排除即可【解答】解：因为全集， 根据集合的关系可知A错误，故B错误，故C错误，正确，故选D2.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法是基础题【解答】解：令，显然A错误，B选项，符号不确定，所以B错误，令，显然C错误，故选D3.
8、【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合中元素的特征，元素与集合的关系，属于容易题由得或，再结合元素互异性检验即可【解答】解：当时，与元素的互异性矛盾 当时，符合题意故选B4.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合中元素的特征以及集合的关系，首先求出A集合，根据元素的特征即可判断【解答】解：A集合为点集，而集合为数集，所以故选D5.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查二次函数的奇偶性与最值，全称命题的否定以及函数的定义域问题，属于中档题根据充分必要条件，偶函数的性质，全程命题特称命题，抽象函数的定义域逐个判断即可【解答】解：“”是“，即或”的充分不必要条件，正确；是
9、定义在上的偶函数，可知，即，所以，故的最小值为5，正确；命题“，都有”的否定应是“，使得”，错误；已知函数的定义域为，则需满足，故，正确 故选C6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算，属于基础题化简集合B，再求，最后从并集中去掉交集部分即可【解答】解：略7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查分段函数的图像及性质，涉及了二次函数的单调区间，数形结合的思想，解题的关键是画出函数图像，属于基础题去掉绝对值，写成分段函数，结合函数图象，即可求出函数的单调减区间【解答】解：由于画出图像得，可知函数的单调减区间是故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关
10、系，集合与集合的关系，要注意区分各种符号的含义，属于基础题根据集合的相关定义逐个判断【解答】解：表示空集，没有元素，有一个元素，故错误；空集是任何集合的子集，故正确；和都表示集合，故错误；0表示元素，表示集合，故错误，正确；，2，都表示集合，故错误；中的元素都是2，中的元素，故正确；由于集合的元素具有无序性，故正确综上，正确，故选D9.【答案】D【解析】解：b，b，c，d，而元素a，b，c可能在集合中故答案为：D属于基础题10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数解析式的求解及求函数值，属基础题用代入原式中，再与原式联立求解出的解析式即可【解答】解：略故选B11.【答案】D【解析】【分
11、析】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性的运用，涉及不等式求解问题，考查了分析和运用能力，属于中档题根据函数为奇函数，得到，结合函数单调性得函数值为正负时x的范围，再研究时x的取值范围，即可得出结果【解答】解：函数为奇函数，即在内是增函数，当时，当时，根据奇函数对称性可得，当时，当时，由此可知即为x与异号时的情形，故的解集为，故选D12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性，奇偶性与最值，属于基础题由函数单调性得，由奇偶性得，从而得到答案【解答】解：因为奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为9，最小值为2，所以，所以，故选B13.【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词命题
12、、存在量词命题的真假判定，涉及集合的交集的性质和集合的关系，属基础题根据已知得到，再根据特称量词与全称量词的意义作出逻辑判定【解答】解：，当时，使得，故A错误；，必有，即，必有，故B正确；由正确，得，必有，使得错误，即C错误；当时，使得，故D错误；综上只有B是正确的，故选B14.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用偶函数的对称性比较函数值的大小，解题的关键是判断相应区间上的单调性由偶函数的对称性可知函数的图象关于y轴对称，结合在上有单调性，且，可知在上有单调递增，单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，可判断【解答】解：是定义在R上的偶函数，函数的图象关于y轴对称，在上有单调性，且，在上
13、有单调递增，单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，结合选项可知，B符合故选B15.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数性质的应用，属于中档题根据函数的奇偶性单调性得到函数的大致图像，进而可判断【解答】解：当时，所以函数是奇函数，故正确；作出函数的大致图象如下所示，观察可知，函数无最值，且在和上单调递增，故错误，正确，故选C16.【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数值域的求法，涉及函数的单调性和最值，属于基础题当时，函数图像开口向上，对称轴为，当时，取最小值为，可知，当时，此时函数单调递减，可得，进而求解原函数的值域【解答】解：当时，函数图像开口向上，对称轴为，所以当时，取最小值为，
14、所以，当时，此时函数单调递减，所以，所以原函数的值域为17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调性既要考虑当时二次函数的单调性，又要考虑当时一次函数的单调性，同时要注意端点值的决定作用【解答】解：因为成立，所以函数在R上单调递减，由题意，得故选D18.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，单调性，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题根据题意可知函数的图象关于对称且函数在上为减函数，从而即可得，进而可得实数a的取值范围【解答】解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意，都有，所以函数在上为减函数，则，两边平方解得即实数a的取值范围是，故选
15、A19.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了函数的定义域和值域，函数的定义，属基础题利用图中选项进行求解即可得【解答】解：由题中选项可得：取不到；B：取不到；C：定义域，；表示的不是函数的图象，存在一个自变量x对应两个y值情况；故选ABD20.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查了函数的基本概念，属于基础题从定义域，解析式方面判断即可【解答】解：A中，的定义域为R，的定义域为，故A不是同一函数；B中，的定义域为，故不是同一函数；C中，的定义域为R，的定义域为R，对应法则相同，故C是同一函数；D中，的定义域为R，的定义域为，故D不是同一函数；故选ABD21.【答案】AC【解析】【分析】
16、本题考查了二次函数的性质，属于基础题根据二次函数的对称轴为，讨论a的取值可得答案【解答】解：因为，若时，可得的值域为，若时，可得的值域为 ，又因为在时的最小值为，故选AC22.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查函数的表示方法，属于基础题根据表格，逐项代入判断即可【解答】解：当时，所以，故不正确；当时，所以，故正确；当时，所以，故正确；当时，所以，故正确；故选BCD23.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查函数定义与表示，属于中档题逐个判断可得答案【解答】解：对于A，B取，可得，故A，、B都是具有性质P的函数；对于C，无论取R内任何数值，都不可能得到，故C是不具有性质P的函数；对于D，
17、取，可得，故D为具有性质P的函数，故选ABD24.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题利用基本不等式的性质逐个判断即可得出答案【解答】解：当时，当且仅当时等号成立，其最小值是2，正确；B.，正确C.，因此不成立；D.当时，当且仅当时取等号，其最大值为；当时，当且仅当时取等号故无最大值，不正确故选AB25.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域及值域，是一道基础题，新定义一定要读懂题意，再进行求解理解若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”的定义，根据例子判定四个选项的函数即可【解答】解：对当和时，的值域都是，所以是
18、“同族函数”，A正确；对当和时，的值域都是，所以是“同族函数”，B正确；对的定义域是，当时，且是单调递减的，当时，也是单调递减的，故不可能成为“同族函数”，所以C错误；对当和时，的值域都是，所以D正确故选ABD26.【答案】AC【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，要注意应用条件的检验结合基本不等式的一正、二定、三相等的条件检验各选项即可判断【解答】解：不等式恒成立的条件是，故A不正确；由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于，当且仅当，即时取等号，故C不正确当a为负数时，不等式，当且仅当时，等号成立，故D正确故选AC27.【答案】ABCD【解析】【分析】本题考查了不等式求解
19、、充分必要条件判断、基本不等式求解最值，考查推理能力，属于中档题本题考察答案不正确的选项，只能一个一个个判断【解答】解：显然当时，恒成立，于是的解是。因此A选项不正确。令，当时，恒有成立，所以“”是“”的充要条件不成立，因此B选项不正确由题意，对不等式去绝对值得到，解得因此当时，对“”有“”不一定成立如，反之成立于是“”是“”的必要不充分条件因此C选项不正确。由题意，变式得，根据均值不等式，当且仅当，即时等号成立，但是显然等号不成立，因此D选项不正确综上，本题叙述不正确的选项为A、B、C、D，故选ABCD28.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查分段函数函数的最值问题，属于中档题由可得，再利
20、用函数的图像即可求解【解答】解：由知，当，即当时，；当，即当或时，因此即作出其图象如图所示，观察图象可以发现，无最小值，故选ABD29.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了函数对称性、值域和函数的零点与方程的根的关系，属于中档题先根据几何意义可以求函数的值域，进而判断AC选项，再结合可判断B选项，对于D选项，把当做整体换元令，先把t解出来，进而解出x无解，即可判断D选项【解答】解：对于C选项，由题意知而，所以，即函数的值域为故C正确；对于A选项，由函数的值域可知函数只有最小值，无最大值，故不可能是中心对称图形，故A错误；对于B选项，因为，所以，即函数关于对称，故B正确；对于D选项，设，则方程，等价为，即，解得，或，又因为函数的值域为所以，所以当或时，不成立，所以方程无解，故D错误故选：BC30.【答案】AC【解析】【分析】此题考查通过几何图形对重要不等式的证明，关键点找到图中的线段长度关系，属于一般性题目由线段长度关系，可以求解【解答】解：由，由射影定理可知：，又，A正确；由射影定理可知：，即又，即，C正确；故选AC
