1、20202021学年（下）抚松一中暑假综合题（十）高一数学一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知z与1+2i互为共轭复数，则zi10（）A12iB1+2iC1+2iD2+i2在ABC中，若A=60，b=1，其面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC=（ ）A33B2393CD3923某个总体由编号为001，002，799，800的800个个体组成，利用下面的随机数表选取50个个体，选取方法是从随机数表第2行的第4列数字开始由左到右依次选取，每行结束后紧接下一行，则选出来的第4个个体的编号为（ ）0977931982
2、749480040445073166493326168045336246862808315446325394133847270736075105032724837289440560358039948813553858591256859926969668273105037293155712101427A133B325C394D6034若x1,x2,x2019的平数为3，为差为4，且yi=3xi2，i=1,2,3,2019，则新数据y1,y2,y2019的平均数和方差为（ ）A-3 12B-6 12C-3 36D-6 365已知向量a=2,23，b=3,1，则b在a上的投影是（ ）A4B2C23D
3、36在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）A34B32C334D37如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为（ ）A3010B3010C7010D70108正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A8BC32D649将一个总体分为三层后，其个体数之比为4:2:1，若用分层抽样的方法抽取容量为140的样本，则应从B层中抽取的个数为（）A20B30C40D6010甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的
4、平均数分别为x甲、x乙，标准差分别为甲、乙，则（ ）Ax乙，乙 Bx乙，乙Cx乙，乙 Dx乙，乙11对于ABC，有如下判断，其中错误的判断是（ ）A若，ABC是钝角三角形B若，则sin AsinBC若b=8,c=10,B=60，则符合条件的ABC有两个D在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面ACC1A1,AB=AC=1,CC1=2,A1AC=60，D，E，F分别为BB1,A1C1,CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）ADE/平面ABFB若G为AA1上点，且AG=14AA1，则CGBB1C三棱柱ABCA1B1C1，的体积为2DA1F与BC所
5、成角的余弦值为34二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知向量a,b满足a+2b=1,a2b=5，则ab=_14 2020年新冠肺炎疫情期间，某市在A、B、C三个社区中招募志愿者60人，现用分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人数，已知A、B、C的人数之比为1：2：3，则应从B社区抽取_名志愿者.15已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5c，acosC+csinA=b，则bc=_.16唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光
6、滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143R2.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则V1V2的值是_.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.（1）求C；（2）若c=5，ABC的面积为1，求ABC的周长.18如图，在底面是菱形的四棱锥中，SA=AB=2，SB=SD=22.（1）证明：BD平面；（2）在侧棱SD上是否存在点E，使得SB/平面ACE？请证明你的结论；（3）若，求几何体ASBD的体积.19如图，正三棱柱ABCA1B1C1,AB=2,AA1=1,M
7、为棱BC的中点.（1）证明：A1B/平面AMC1；（2）证明：平面AMC1平面BCC1B1；（3）求直线AA1与平面AMC1所成角的正弦值.202017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75,100内，按成绩分成5组：第1组75,80，第2组80,85，第3组85,90，第4组90,95，第5组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用
8、分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习1求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；2求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；3若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率21在；这三个条件中,任选一个补充在下列问题中,并给出解答在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,_（1）求B；（2）若,求周长的最大值22甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者
9、与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率20202021学年（下）抚松一中暑假综合题（十）高一数学二、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知z与1+2i互为共轭复数，则zi10（）A12iB1+2iC1+2iD2+i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念得z，进而由复数的乘法运算求解即可
10、.【详解】z与1+2i互为共轭复数，z12i，zi10（12i）(-1)51+2i2在ABC中，若A=60，b=1，其面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC=（ ）A33B2393CD392【答案】B【分析】先由面积公式求出c，再由余弦定理求出a，最后利用正弦定理可得出答案.【详解】由面积公式SABC=12bcsinA=3bc=4c=4，由余弦定理有a2=b2+c22bccosA=b2+c24a=13，由正弦定理有asinA=a+b+csinA+sinB+sinC=1332=2393.3某个总体由编号为001，002，799，800的800个个体组成，利用下面的随机数表选取50个个
11、体，选取方法是从随机数表第2行的第4列数字开始由左到右依次选取，每行结束后紧接下一行，则选出来的第4个个体的编号为（ ）0977931982749480040445073166493326168045336246862808315446325394133847270736075105032724837289440560358039948813553858591256859926969668273105037293155712101427A133B325C394D603【答案】B【分析】利用随机数表法求解.【详解】由题意，选出的编号为：246，315，446，325，394，所以第4个个体的编号
12、为3254若x1,x2,x2019的平数为3，为差为4，且yi=3xi2，i=1,2,3,2019，则新数据y1,y2,y2019的平均数和方差为（ ）A-3 12B-6 12C-3 36D-6 36【答案】C【分析】直接根据平均数公式和方差公式计算即可【详解】解：yi=3xi2，y=3(x2)=3，s2=(3)24=36，5已知向量a=2,23，b=3,1，则b在a上的投影是（ ）A4B2C23D3【答案】D【分析】求得a=4,ab=43，根据投影的公式，即可求解.【详解】由题意，向量a=2,23，b=3,1，可得a=4,ab=23+231=43，所以b在a上的投影是aba=434=3.6在
13、直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）A34B32C334D3【答案】B【分析】根据棱锥体积公式可求得VA1ABC，将问题转化为三棱锥AA1BC高的求解问题，利用等体积的方式来进行求解.【详解】AB=BC=AC=2 ABC为边长为2的等边三角形SABC=124sin60=3，又AA1平面ABC VA1ABC=13SABCAA1=33A1B=A1C=4+1=5，BC=2A1BC中BC边上的高=51=2 SA1BC=12BC=2设点A到平面A1BC的距离为dVA1ABC=VAA1BC 13SA1BCd=23d=33，解得：d=327如图，在
14、正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为（ ）A3010B3010C7010D7010【答案】A【分析】如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，可得（或补角）为异面直线BD与CF所成的角在COG中，由余弦定理即可得答案；【详解】如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则且OG=12BD，所以（或补角）为异面直线BD与CF所成的角设正方形ABCD的边长为2，则CE=BE=1，CF=DE=CD2+CE2=5，所以CO=12CF=52平面CDFE平面ABEF
15、，平面CDFE平面ABEF=EF，BEEF,BE平面ABEF，BE平面CDFE，同理平面ABEF，所以BEDE，所以BD=DE2+BE2=6，所以OG=12BD=62由平面ABEF，所以CEBE.又GE=12BE=12，所以CG=CE2+GE2=52在COG中，由余弦定理得，cosCOG=OC2+OG2CG22OCOG=522+62252225262=3010，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为30108正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A8BC32D64【答案】D【详解】作PM面ABC于点M，则球心O在PM上，PM=6，连结AM,AO，则OP=OA=R，在RtOAM
16、中，OM=6R，OA=R，又AB=6，且ABC为等边三角形，故AM=236232=23，则R2(6R)2=(23)2，则，所以球的表面积S=4R2=64.9将一个总体分为三层后，其个体数之比为4:2:1，若用分层抽样的方法抽取容量为140的样本，则应从B层中抽取的个数为（）A20B30C40D60【答案】C【分析】根据分层抽样的原则可计算的抽样比，再利用样本容量乘以抽样比得到结果.【详解】由题意可知B层的抽样比为：24+2+1=27应从B层中抽取的个数为：14027=4010甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，标准差分别为甲、乙，则（ ）Ax乙，乙 Bx乙
17、，乙Cx乙，乙 Dx乙，乙【答案】C【分析】根据拆线统计图所反应的实际意义，可以看出两同学的平均成绩的高低和其稳定程度，可得选项.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故乙.11对于ABC，有如下判断，其中错误的判断是（ ）A若，ABC是钝角三角形B若，则sin AsinBC若b=8,c=10,B=60，则符合条件的ABC有两个D在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积【答案】C【分析】结合正弦定理、余弦定理、面积公式等相关知识依次对各选项判断即可.【详解】对于选项A：由正弦定理可得a2+b2c2，所
18、以cosC=a2+b2c22ab0，sinB0，所以，又abAB，所以ABsinAsinB. 故B正确；对于选项C：由正弦定理，矛盾，因此，符合条件的ABC不存在. 故C错误；对于选项D：在三角形中， 如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出三角形面积； 如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三边，然后再用面积公式求出三角形面积. 故D正确.12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面ACC1A1,AB=AC=1,CC1=2,A1AC=60，D，E，F分别为BB1,A1C1,CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）ADE/平面ABFB若G为AA1上点，且AG=14AA
19、1，则CGBB1C三棱柱ABCA1B1C1，的体积为2DA1F与BC所成角的余弦值为34【答案】B【分析】利用所给条件，探讨与DE平行的直线同平面ABF的关系判断A选项，利用异面直线夹角意义并求解可判断选项B，D，过A1作三棱柱的高并求出即可判断C.【详解】在三棱柱ABCA1B1C1中，连接A1D并延长交AB延长线于M，连C1M，如图：因D是BB1中点，A1B1/AB，则D是A1M的中点，而E是A1C1中点，于是DE/C1M，显然C1M与平面ABF交于点M，则DE与平面ABF必相交，A不正确；点G在AA1上，且AG=14AA1，则，而AC=1，ACG中，CG2=AG2+CG22AGCGcosA
20、1AC=34，于是AG2+CG2=AC2，即CGAA1，而BB1/AA1，则CGBB1，B正确；过A1作A1OAC于O，因AB平面ACC1A1，A1O平面ACC1A1，则A1OAB，A1O平面ABC，A1O是三棱柱的高，又ABC是直角三角形，则三棱柱ABCA1B1C1体积V=SABCA1O=1212sin60=32，C正确；连接DF，因F是CC1中点，则DF/BC，异面直线A1F与BC所成角是A1FD或其补角，在A1DF中，DF=AB=2，A1D=2，显然A1C1F为正三角形，即A1F=1，A1FD是等腰三角形，则cosA1FD=12A1FDF=24，D不正确.二、填空题(本题共4小题，每小题
21、5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知向量a,b满足a+2b=1,a2b=5，则ab=_14 2020年新冠肺炎疫情期间，某市在A、B、C三个社区中招募志愿者60人，现用分层抽样的方法分配三个社区的志愿者人数，已知A、B、C的人数之比为1：2：3，则应从B社区抽取_名志愿者.【答案】20【分析】根据分层抽样的比例，按社区人数比招募自愿者即可求B社区抽取志愿者人数.【详解】有分层抽样的比例关系知：B社区抽取志愿者人数为6013=20，故答案为：20.15已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5c，acosC+csinA=b，则bc=_.【答案】22【分析】先根据正弦定
22、理以及两角和的正弦公式求解出A的值，再根据A对应的余弦定理以及a,c的关系求解出bc的值.【详解】因为acosC+csinA=b，由正弦定理得sinAcosC+sinCsinA=sinB，又因为sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，所以sinCsinA=cosAsinC，又sinC0，即sinA=cosA，所以A=4.由余弦定理得a2=b2+c22bccosA和a=5c，得，即b+2cb22c=0，解得bc=22或2 (舍)，16唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设
23、内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143R2.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则V1V2的值是_.【答案】2.【分析】设圆柱的高为，表示出表面积可得=43R，再分别表示出，即可.【详解】解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积S=124R2+2R=143R2，则=43R，所以V1=R2=43R3，V2=1243R3，故，三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.（1）求C；（2）若c=5，ABC的面积为1，求ABC的周长.【详解】（1）sin2A
24、+sin2Bsin2C=2sinAsinBsinC，由正弦定理有a2+b2c2=2absinC，可得a2+b2c22ab=sinC，有cosC=sinC，得tanC=1.又由0C，可得C=4；（2）由三角形的面积公式可得SABC=12absin4=1，可得ab=22，由余弦定理有a2+b22abcos4=5，可得a2+b2=9.有a+b2=a2+b2+2ab=9+42=22+12，可得a+b=22+1，故ABC的周长为a+b+c=5+22+1.18如图，在底面是菱形的四棱锥中，SA=AB=2，SB=SD=22.（1）证明：BD平面；（2）在侧棱SD上是否存在点E，使得SB/平面ACE？请证明你
25、的结论；（3）若，求几何体ASBD的体积.【详解】（1）四棱锥底面是菱形，BDAC且AD=AB，SA=AB=2，SB=SD=22，SA2+AB2=SB2，SA2+AD2=SD2，SAAB，又，SA平面ABCD，BD平面ABCD，从而SABD，又SAAC=A，BD平面；（2）在侧棱SD上存在点E，使得SB/平面ACE，其中E为SD的中点，证明如下：设，则O为BD的中点，又E为SD的中点，连接OE，则OE为SBD的中位线.OE/SB，又OE平面AEC，SB平面AEC，SB/平面ACE；（3）当时，SABD=12ABADsin120=122232=3，几何体ASBD的体积为VASBD=VSABD=1
26、3SABDSA=1332=233.19如图，正三棱柱ABCA1B1C1,AB=2,AA1=1,M为棱BC的中点.（1）证明：A1B/平面AMC1；（2）证明：平面AMC1平面BCC1B1；（3）求直线AA1与平面AMC1所成角的正弦值.【详解】(1)证明：如图，连接A1C交AC1于点N，则N为A1C的中点，M是BC的中点，MN/A1B，MN平面AMC1，A1B平面AMC1，A1B/平面AMC1 .(2)证明：ABC为正三角形，M为BC的中点， AMBC，CC1平面ABC，CC1AM，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1且CC1BC=C， AM平面BCC1B1，平面AMC1，平面AMC1
27、平面BCC1B1 .(3)平面AMC1平面BCC1B1，且交线为MC1，在平面BCC1B1内，作CPMC1，则CP平面AMC1 ，AA1/CC1，CC1P即为直线AA1与平面AMC1所成角，在RtMC1C中，C1C=1,MC=12BC=1，sinCC1M=sinCC1P=22，直线AA1与平面AMC1所成角的正弦值为22.202017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75,100内
28、，按成绩分成5组：第1组75,80，第2组80,85，第3组85,90，第4组90,95，第5组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习1求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；2求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；3若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率1这100人的平均得分为：x=575+8020.01+80+8520.07+85+9
29、020.06+90+9520.04+95+10020.02=87.25.2第3组的人数为0.065100=30，第4组的人数为0.045100=20，第5组的人数为0.025100=10，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1.3记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己)共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为P=121
30、5=45.21在；这三个条件中,任选一个补充在下列问题中,并给出解答在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,_（1）求B；（2）若,求周长的最大值（1）选，由余弦定理得又， （6分）选，由余弦定理得，又 （2分）即，又 （4分）， （6分）选由,得：，又 （6分）（2），由余弦定理得：，又 （8分）当且仅当时取等号 （10分）周长的最大值为12 （12分）22甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘
31、汰,另一人最终获胜,比赛结束经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率22解：（1）甲连胜四场的概率为 （4分）（2）根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛比赛四场结束,共有三种情况：甲连胜四场的概率为； （5分）乙连胜四场的概率为； （6分）丙上场后连胜三场的概率为 （7分）所以需要进行第五场比赛的概率为 （8分）（3）丙最终获胜,有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,因此丙最终获胜的概率为
