1、20192020学年高二下学期第三次考试数学试卷（文科）第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x1234y4.5432.5根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为()A. y=-0.7x+5.20B. y=-0.7x+4.25C. y=-0.7x+6.25D. y=-0.7x+5.252. 2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：观看世界杯不观看世界杯总计男402060女152540总计5545100经计算K2的观测值k8.2
2、49.附表：P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828参照附表，所得结论正确的是( )A. 有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B. 有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”3. 下列是合情推理的是()由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质;由正方形、矩形的内角和是360，归纳出所有四边形的内
3、角和都是360;三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸n边形内角和是(n-2)180;小李某次数学考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学考试的成绩都是90分A. B. C. D. 4. 论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 一次三段论5. 用分析法证明命题“已知a-b=1.求证：a2-b2+2a-4b-3=0.”最后要具备的等式为( )A. a=bB. a+b=1C.
4、a+b=-3D. a-b=16. 用反证法证明命题：“已知xR，a=x2-1，b=2x+2，则a，b中至少有一个不小于0”，反设正确的是()A. 假设a，b都不大于0B. 假设a，b至多有一个大于0C. 假设a，b都大于0D. 假设a，b都小于07. 若复数a+3i1-2i的实部与虚部相等，则实数a的值为()A. 23B. -9C. -3D. -18. 在复平面内，复数z=i1-i+i2021对应的点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 已知复数z1,z2在复平面内对应点的坐标分别为(1,-1),(-2,1)，则z2z1的共轭复数为( )A. 32-1
5、2iB. 32+12iC. -32-12iD. -32+12i10. 在极坐标系中，曲线C:=2sin上的两点A,B对应的极角分别为23,3，则弦长|AB|等于( )A. 1B. 2C. 3D. 211. 在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换x=5xy=3y后，曲线C变为曲线2x2+8y2=1，则曲线C的方程为()A. 25x2+36y2=1B. 50x2+72y2=1C. 10x2+24y2=1D. 2x225+8y29=112. 如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A. 设备安装B. 土建设计C. 厂房土建D. 工程设计第II卷(非选择题 共60分)二、填空题（本大题共4小题，
6、共20分）13. 在极坐标系中，点到直线的距离是_14. 圆心是C(a,0)、半径是a的圆的极坐标方程为_ 15. 设a，bR，a+bi=11-7i1-2i(i为虚数单位)，则a+b的值为_16. 已知|z|=1，则|z-1+3i|的最大值和最小值分别是_、_三、解答题（本大题共4小题，共40分）17. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y=bt+a(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款1
7、8. 在平面直角坐标系xOy中，曲线B：x2+y2=1经过伸缩变换x=3xy=y后，变为曲线C()求曲线C的直角坐标方程；()在曲线C上求一点D，使它到直线l：x+4y-8=0的距离最短，并求出点D的直角坐标19. 已知复数z1=a-2i，z2=3+4i(aR,i为虚数单位)(1)若z1z2是纯虚数，求实数a的值；(2)若复数z1z2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围20. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos=4()M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(
8、)设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值参考答案1.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一由表可得样本中心为(2.5,3.5)，代入检验可得结论【解答】解：由表可得样本中心为(2.5,3.5)，代入检验可得y=-0.7x+5.25故选D2.【答案】C【解析】【分析】本题考查独立性检验的应用，属于基础题利用K2的观测值k与临界值表比较，结合各个选项的说法即可得出结论【解答】解：经计算K2的观测值k8.249，则8.2497.879，经查表得：在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“
9、该小区居民是否观看世界杯与性别有关”故选C3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查对合情推理(归纳推理、类比推理)的判断，属于基础题由合情推理的概念可知，合情推理包括归纳推理和类比推理，逐个进行判断即可【解答】解：是类比推理，由正三角形的性质类比出正三棱锥的性质；为归纳推理，关键看由正方形、矩形的内角和为360，归纳出所有四边形的内角和都是360，符合归纳推理的定义，即由特殊到一般的推理过程；是归纳推理，是由三角形的内角和为180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形内角和是(n-2)180，为归纳推理，即由特殊到一般的推理过程；不是合情推理故选B4.【答案】C【
10、解析】【分析】本题考查演绎推理的意义，是一个基础题.演绎推理从一般到特殊的推理【解答】解：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式5.【答案】D【解析】【分析】本题考查分析法证明命题的基本步骤.求解a2-b2+2a-4b-3=0的等价变换，再结合a-b=1即可得到最后要具备的等式【解答】解：要证a2-b2+2a-4b-3=0，即证a2+2a+1=b2+4b+4，即(a+1)2=(b+2)2即证|a+1|=|b+2|，即证a+1=b+2或a+1=-b-2，故a-b=1或a+b=-3，而a-b=1为已知条件，也是使等式成立的充分条件故选D6.【答案】
11、D【解析】【分析】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“假设a，b都小于0”，从而得出结论【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“已知xR，a=x2-1，b=2x+2，则a，b中至少有一个不小于0”的否定为“假设a，b都小于0”，故选：D7.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的概念和运算.先将a+3i1-2i=a-6+2a+3i5可得解，属于基础题【解答】解：a+3i1-2i
12、=(a+3i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=a-6+(2a+3)i5，由题意知，a-6=2a+3，解得a=-9故选B8.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的运算以及几何意义，属于基础题先将z化简成代数形式，再确定对应的点所在的象限【解答】解：z=i1-i+i2021=i(1+i)2+i=-12+32i，所以复数z在复平面内对应的点为(-12,32)，故复数z=i1-i+i2021对应的点所在的象限为第二象限，故选B9.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义及运算，考查共轭复数，属于基础题依题意，得z1=1-i，z2=-2+i，根据复数的运算法则计算即可【解答】解：由复数z
13、1，z2在复平面内的对应点的坐标分别为(1,-1)，(-2,1)，得z1=1-i，z2=-2+i，则z2z1=-2+i1-i=-2+i1+i1-i1+i=-3-i2=-32-12iz2z1的共轭复数为-32+12i，故选D10.【答案】C【解析】【分析】本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可【解答】解：A、B两点的极坐标分别为(3,23)，(3,3)，化为直角坐标为(-32,32)、(32,32)，故|AB|=(32+32)2+(32-32)2=3故选C11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了曲线的变换
14、公式的应用，属于基础题把x=5xy=3y代入曲线2x2+8y2=1，即可得出【解答】解：把x=5xy=3y代入曲线2x2+8y2=1，可得2(5x)2+8(3y)2=1，化为50x2+72y2=1，即为曲线C的方程故选B12.【答案】A【解析】解：由流程图可知设备采购的下一道工序是设备安装故选：A工序流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定设备采购的下一道工序本题主要考察简单实际问题的流程图，属于基础题13.【答案】1【解析】【分析】本题考查简单的极坐标方程，将点(2,6)和直线都化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式计算结果【解答】解：点(2,6)化为直角坐标为3,1
15、，直线sin(-6)=1，化为直角坐标方程为x-3y+2=0，所以点(2,6)到直线的距离d=3-13+212+32=1故答案为114.【答案】=2acos【解析】【分析】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由已知可得直角坐标方程，利用2=x2+y2，x=cos，代入即可得出极坐标方程【解答】解：圆心是C(a,0)、半径是a的圆的直角坐标方程为：(x-a)2+y2=a2，化为x2+y2-2ax=0，把2=x2+y2，x=cos，代入可得极坐标方程：2=2acos，即=2acos，故答案为：=2acos15.【答案】8【解析】【分析】本题考查复数相等的充要条
16、件，复数的四则运算，属于基础题由题意，可得a+bi=11-7i1-2i=5+3i，再依据复数相等的充要条件可得a=5，b=3，即可求解【解答】解：a+bi=11-7i1-2i=(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=25+15i5=5+3i，依据复数相等的充要条件，可得a=5，b=3从而a+b=8故答案为816.【答案】3；1【解析】【分析】本题考查复数的模，属基础题.根据复数运算的几何意义，求出最值【解答】解：因为|z|=1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上|z-1+3i|=|z-(1-3i)|，表示Z到点1-3i所对应的点P(1,-3)的距离，|
17、OP|=1+3=2，所以|PZ|max=|OP|+r=3，|PZ|min=|OP|-r=1故答案为3；117.【答案】解：(1)由题意，t=3，y=7.2，i=15ti2-5t2=55-532=10，i=15tiyi-5ty=120-537.2=12，b=1.2，a=7.2-1.23=3.6，y关于t的回归方程y=1.2t+3.6(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为=1.26+3.6=10.8(千亿元)【解析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题(1)利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程y=bt+a(2)t=6，代入回归方程，即可预测该地区
18、2016年的人民币储蓄存款18.【答案】解：()根据题意，由x=3xy=y，得x=13xy=y，代入x2+y2=1中，整理得曲线C的标准方程为x29+y2=1；()曲线C的参数方程为x=3cosy=sin(为参数)；设D(3cos,sin)，它到直线l：x+4y-8=0的距离为d=|3cos+4sin-8|17=|5(35cos+45sin)-8|17，令sin=35，cos=45，则d=|5sin(+)-8|17，当sin(+)=1时，d取得最小值为31717；此时+=2+2k，kZ；=2-+2k，kZ；则cos=cos(2-)=sin=35，sin=sin(2-)=cos=45；点D的坐标
19、为D(3cos,sin)=(95,45).【解析】本题考查了伸缩变换与参数方程的应用问题，是中档题()由坐标伸缩变换，代入x2+y2=1中化简即得曲线C的标准方程；()设出曲线C的参数方程，利用参数表示点D的坐标，求出它到直线l的距离最小值对应的点D的坐标即可19.【答案】解：(1)由z1z2=(a-2i)(3+4i)=(3a+8)+(4a-6)i是纯虚数，得3a+8=04a-60，解得a=-83；(2)根据题意z1z2在复平面上对应的点在第四象限，可得3a+804a-60-83a32,实数a的取值范围为a|-83a0)，M的极坐标为(1,)(10)，由题设知|OP|=，由|OM|OP|=16
20、，得C2的极坐标方程=4cos(0)，因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0)；()设点B的极坐标为(B,)(B0)，由题设知|OA|=2，B=4cos，于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cos|sin(-3)|=2|sin(2-3)-32|2+3当=-12时，S取得最大值2+3所以OAB面积的最大值为2+3【解析】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，极坐标方程的运用，属于中档题()设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为(1,)(10)，则|OP|=，由|OM|OP|=16，得C2的极坐标方程=4cos(0)，把2=x2+y2,x=cos,y=sin代入即可求C2的直角坐标方程；()设点B的极坐标为(B,)(B0)，则OAB面积S=12|OA|BsinAOB=2|sin(2-3)-32|，利用正弦函数的性质即可得出最大面积
