1、第八章 平面解析几何第三节 圆的方程(1)(2015课标全国卷)一个圆经过椭圆x216y24 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_(2)(2014山东卷)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C截 x轴所得弦的长为 2 3，则圆 C的标准方程为_解：(1)由已知得该圆经过椭圆的三个顶点 A(4，0)、B(0，2)、C(0，2)易知线段 AB 的垂直平分线的方程为 2xy30.令 y0，得 x32，所以圆心坐标为32，0，则半径 r43252.故该圆的标准方程为x322y2254.(2)法一 因圆 C 的圆心在直线 x2y0 上，且与 y 轴的
2、正半轴相切，所以设圆心 C(2b，b)(b0)，半径 r2b.又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，圆心 C 到 x 轴的距离为 b，所以由勾股定理（2b）2b2 3，解得 b1.因此圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.法二 因圆 C 的圆心在直线 x2y0 上，设圆心 C(2b，b)，所以圆 C 的方程为(x2b)2(yb)2r2，圆 C 与 y 轴正半轴相切，则 r2b0.又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，由勾股定理，得圆心 C 到 x 轴的距离为 r2b2 3.联立，得 b1，r2.因此圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(1)(x32)2y2254 (
3、2)(x2)2(y1)24求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：1几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且与直线 3x4y40 相切，则圆的方程是()Ax2y24x0 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y22x30解析：依题设圆心为 C(m，0)(m0)，圆 C 与直线 3x4y40 相切，且 r2，|3
4、m404|32422，即|3m4|10.解之得 m2 或 m143(舍去)故所求圆的方程为(x2)2y24，即 x24xy20.答案：A (1)若圆 x2y2ax2y10 与圆 x2y21 关于直线yx1 对称，过点 C(a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为()Ay24x4y80 By22x2y20Cy24x4y80 Dy22xy10(2)已知点 A(1，0)，点 B(2，0)，动点 C 满足|AC|AB|，则点 C 与点 P(1，4)所连线段的中点 M 的轨迹方程为_解析：(1)由圆 x2y2ax2y10 与圆 x2y21 关于直线 yx1 对称，可知两圆半径相等且两圆
5、圆心连线的中点在直线 yx1 上，故可得 a2，即点 C(2，2)，所以过点 C(2，2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整理得：y24x4y80.(2)由题意可知：动点 C 的轨迹是以(1，0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为(x1)2y29.设 M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得 C(2x01，2y04)，代入点 C 的轨迹方程得 4x204(y02)29，化简得 x20(y02)294，故点 M 的轨迹方程为 x2(y2)294.答案：(1)C(2)x2(y2)294求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目
6、提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等(2014课标全国卷)已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解：(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2
7、y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心，2为半径的圆 由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上 又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 y13x83.又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 105，|PM|4 105，所以POM 的面积为165.已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求
8、 n3m2的最大值和最小值解：(1)由 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 2.又|QC|（22）2（73）24 2.|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.(2)可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2.可得 2 3k2 3，所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.设 P 为直线 3x4y30 上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x2y10 的两条切线，切点分别为 A，B，求四边形 PACB 的面积的最小值解：圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为 C(1，1)，半径为 r1.根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为 2SAPC212|PA|r|PA|PC|2r2.要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线 l：3x4y110 的距离 d|3411|32（4）2105 2.所以四边形 PACB 面积的最小值为|PC|2minr2 41 3.