1、延边第二中学2020-2021学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷 答题时间：120分钟 试卷总分：140分一、 选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1. 复数满足，则z=( )A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“若,则,全为0（）”其反设正确的是（ ）A. ,至少有一个为0B. ,至少有一个不为0C. ,全不为0 D. ,中只有一个为03.有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点大前提;因为函数满足小前提;所以是函数的极值点结论 ，以上推理（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误4. 学习合
2、情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r”这两位同学类比得出的结论( )A两人都对 B甲错、乙对 C甲对、乙错 D两人都错5. 从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（ ）A720B1120C1200D16806. 一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒
3、子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）A当时，有极小值B当时，有极大值C当时，有极小值D当时，有极大值7. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（ ）A120 B260 C340 D4208. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A. B. C. 4 D. 9.如果对定义在上的偶函数，满足对于任意两个不相等的正实数，都有，则称函数为“函数”，下列函数为“函数”的是（ ）ABCD10.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级
4、、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 ( )A336B340C352D47211. 函数，若有正实数解，则实数的最小值为（ ）A. 3B. 2C. D. 12已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），若，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13. 从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有_种(用数字作答).14. 学校艺术节对同一类的四
5、项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_15. 若函数与的图像在处有相同的切线，则_.16已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_.三、解答题（共小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程）17（本小题满分10分）复数 （其中，i为虚数单位）. （1）若复数为实数，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值；（
6、3）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围18（本小题满分10分）观察下列等式:；(1)猜想第n(nN*)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想。19（本小题满分12分）已知函数，在点处的切线方程为，求：（1）实数的值；（2）函数在区间上的最值.20. （本小题满分12分）已知函数.（1）若存在极值，求的取值范围；（2）当时，求证：21.（本小题满分12分）已知函数（1）若曲线在点处与轴相切，求的值；（2）求函数在区间上的零点个数；（3）若、，试写出的取值范围.（只需写出结论）22.附加题：（满分20分，计入试卷总分）已知函数，且在处切线垂直于轴（1）求的值；（2）求函数在上的最
7、小值；（3）若恒成立，求满足条件的整数的最大值（参考数据，）延边第二中学2020-2021学年度第二学期期中考试 高二数学考试答案1-12 ABACBB DCCADB13.70 14.C 15.2 1617.（1）因为复数为实数，所以，所以或4；（2）因为复数为纯虚数，所以，所以（3）因为对应的点在第四象限，所以解不等式组得，即的取值范围是.18.解（1）猜想第个等式为.（2）证明：当时，左边，右边，故原等式成立；假设当时，猜想成立，有，则当时，故当时，命题也成立。由可知猜想对一切正整数都成立.19.解：（1）因为在点处的切线方程为，所以切线斜率是且，求得，即点又函数，则所以依题意得,解得（2
8、）由（1）知所以令，解得或当或；当所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是又，所以当变化时，和变化情况如下表：02320204极小值1所以当，时，20.解（1）函数的定义域为，当时，对任意的，故在上单调递增，无极值；当时，当时，单调递增；当时，单调递减.故在处取得极大值，无极小值.综上所述，若存在极值，则的取值范围为.（2）当时，.设，其定义域为，则证明即可.，设，则，故函数在上单调递增.，.有唯一的实根，且，.当时，；当时，故函数的最小值为.21（1），因为在点处与轴相切，且，所以，解得.经检验符合题意；（2）由（1）知，令，得. （i）当时，函数在区间上单调递增，所以， 所以函数在区间上无
9、零点；（ii）当时，若，则，若，则.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，.当，即时，函数在区间上有一个零点；当时，即当时，函数在区间上无零点；（iii）当时，函数在区间上单调递减，所以， 所以函数 在区间上无零点.综上：当或时，函数在区间上无零点；当时，函数在区间上有一个零点. （3）或.22.（1）因为在处切线垂直于轴，则因为，则，则（2）由题意可得，注意到，则则因此单调递减，因此存在唯一零点使得，则在单调递增，在单调递减，则在上恒成立从而可得在上单调递增，则（3）必要条件探路因为恒成立，令，则因为，由于为整数，则，因此下面证明恒成立即可当时，由（1）可知，则故，设，则，则在单调递减从而可得，由此可得在恒成立当时，下面先证明一个不等式：，设则，则在单调递减，在单调递增因此，那么由此可得则，因此单调递增，则在上单调递增，因此综上所述：的最大值整数值为
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