1、第八章 平面解析几何第六节 双曲线(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y28 1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0，6 6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为_解析：由双曲线方程 x2y28 1 可知，a1，c3，故 F(3，0)，F1(3，0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF 的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|32（6 6）215 为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线
2、 AF1 的方程为 y2 6x6 6，由y2 6x6 6，x2y28 1，得 y26 6y960，解得 y2 6或 y8 6(舍去)，所以 SAPFSAF1FSPF1F 1266 61262 612 6.答案：12 61应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用 2利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a0，b0)和椭圆x216y29 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是
3、椭圆离心率的两倍，则双曲线的标准方程为_(2)(2015课标全国卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_解析：(1)由椭圆x216y29 1，知 c 169 7，焦点 F1(7，0)，F2(7，0)，且离心率 e 74.又双曲线x2a2y2b21 与椭圆x216y29 1 有相同的焦点 a2b2(7)27，双曲线的离心率 eca 7a，7a 2 74，则 a2.从而 b2c2a27223.故所求的双曲线的方程为x24 y23 1.(2)法一 设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，3)求解 双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为 x24y2(
4、0)双曲线过点(4，3)，164(3)24，双曲线的标准方程为x24 y21.法二 渐近线 y12x 过点(4，2)，而 30，b0)由已知条件可得 ba12，16a2 3b21，解得a24，b21，双曲线的标准方程为x24 y21.答案：(1)x24 y23 1(2)x24 y211确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2By21(AB0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点若
5、A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A12B 22C1 D 2解析：(1)不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)则|BM|AB|2a，MBx18012060.M 点的坐标为()2a，3a.M 点在双曲线上，4a2a2 3a2b2 1，ab，c 2a，eca 2.(2)由题设易知 A1(a，0)，A2(a，0)，B(c，b2a)，C(c，b2a)A1BA2C，b2acab2aca1，整理得 ab.渐近线方程为 ybax，即 yx，渐近线的斜率为1.答案：(1)D(2)C1(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是
6、确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e1 这一条件 2双曲线中 c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系bae21(eca)抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究 a，b，c，e 间相互关系及转化，简化解题过程(1)设 F1、F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.2B.15C4 D.17(2)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为()Ax 2y0 B.2xy0Cx2y0 D2xy0解析：(1)由双曲线定义，得|PF1|PF2|2a，又因为(|PF1|PF2|)2b23ab，所以 4a2b23ab，即(ab)(4ab)0.由 ab0，得 b4a，从而 c b2a2 17a，因此双曲线的离心率 eca 17.(2)由题意知 e1c1a，e2c2a，e1e2c1ac2ac1c2a2 32.又a2b2c21，c22a2b2，c21a2b2，c21c22a4 a4b4a41(ba)4，即 1(ba)434，解得ba 22，ba 22.令x2a2y2b20，解得 bxay0，x 2y0.答案：(1)D(2)A