1、1辅助圆思想【例 1】在ABC中，BABCBAC，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ 若 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB的度数；在图 2 中，点 P 不与点 BM，重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB的大小（用含 的代数式表示），并加以证明；（2012 年北京中考节选）【解析】图略，30CDB 如图，连接 PC，根据对称性可知，PCPAPQ，以 P 为圆心、PA 长为半径作P，则12ACQAPQ，90CDB【例 2】已知：AO
2、B中，2ABOB，COD中，3CDOC，ABODCO连接 AD、BC，点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点图1NMOPDCBA图2NMOPDCBA 如图 1，若 A、O、C 三点在同一直线上，且60ABO，则PMN的形状是_，此时 ADBC _；如图 2，若 A、O、C 三点在同一直线上，且2ABO，证明PMNBAO，并计算 ADBC 的值（用含 的式子表示）；题型一：共顶点等线段2（海淀一模）【解析】等边三角形，1；证明：连接 BM、CN 由题意，得 BMOA，CNOD，90AOBCOD A、O、C 三点在同一直线上，B、O、D 三点在同一直线上90BMCCNB P 为 BC 中
3、点，在 RtBMC中，12PMBC在 RtBNC中，12PNBC PMPN B、C、N、M 四点都在以 P 为圆心，12 BC 为半径的圆上2MPNMBN又12MBNABO，MPNABO PMNBAO MNAOPMBA由题意，12MNAD，又12PMBC ADMNBCPM ADAOBCBA在 RtBMA中，sinAMAB2AOAM，2sinAOBA2sinADBC【例 3】已知90AOB，OM 是AOB的平分线将一个直角 RPS 的直角顶点 P 在射线OM上移动，点 P 不与点O 重合如图，当直角 RPS 的两边分别与射线 OA、OB 交于点C、D 时，请判断 PC 与 PD 的数量关系，并证
4、明你的结论；RBPCADOGSM321GNSHODACMPBR【解析】PC 与 PD 的数量关系是相等常规证法：过点 P 作 PHOA，PNOB，垂足分别为点 HN、90AOB，易得90HPN，190CPN ，而290CPN ，12 OM 是AOB的平分线，PHPN，又90PHCPND ，PCHPDN PCPD题型二：共斜边的直角三角形PONMDCBA3辅助圆证法：90CODCPD ，CODP、四点共圆，OP 平分COD，COPPOD，PCPD【例 4】如图，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 上一点，MEAM交BCD的外角平分线于 E，求证：AMEM【解析】连接 ACAE、四边形 AB
5、CD 是正方形，45ACD，CE 是外角平分线，45DCE，90ACE，90AME，AMCE、四点共圆，45AEMACB ，45EAM，AMEM【例 5】在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点 P 处，三角板的两直角边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F，连接 EF 如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；将三角板从中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路线长
6、备用图（朝阳一模）【解析】在矩形 ABCD 中，90AD ，AP=1，CD=AB=2，PB=5，90ABPAPB 90BPC，90APBDPC ABPDPC ABPDPC APPBCDPC，即 152PCPC=25 PEF 的大小不变4理由：过点 F 作 FGAD 于点 G四边形 ABFG 是矩形90AAGF GF=AB=2，90AEPAPE 90EPF，90APEGPF AEPGPF APEGFP.221PFGFPEAP在 RtEPF 中，tanPEF=2PFPE 即 tanPEF 的值不变PEF 的大小不变5.辅助圆证法：连接 PB，90EPFEBF ，PEBF、四点共圆，PEFPBF，P
7、EF不会发生变化【例 6】如图，在四边形 ABCD 中，AC 是BAD的平分线，若180BD ，求证：BCCD【解析】180BD ，ABCD 是圆内接四边形，AC 平分BAD，CADBAC，BCCD【例 7】已知：如图，正方形 ABCD 中，BD 为对角线，45MAN，将MAN绕顶点 A 逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交 BD 于点 P、点 Q，交 BCCD，于点 E、点 F，联结EFEQ，在MAN的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围【解析】BD 是对角线，45CBD，45MAN，ABEQ、四点共圆，45AEQABD ，AEQ的大小不发生改
8、变题型三：四点共圆的简单应用5【例 8】（海淀区 2010-2011 学年度第一学期初三期末 25）如图一，在ABC 中，分别以 AB，AC 为直径在ABC 外作半圆1O 和半圆2O，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心.F 是边 BC 的中点，点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点.连结1122,O F O D DF O F O E EF，证明：12DO FFO E；如图二，过点 A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交 BD 的延长线和 CE 的延长线于点 P 和点 Q，连结 PQ，若ACB=90,DB=5，CE=3，求线段 PQ 的长;如图三，过点 A 作半圆2O 的切线，交 C
9、E 的延长线于点 Q，过点 Q 作直线 FA 的垂线，交 BD 的延长线于点 P，连结 PA.证明：PA 是半圆1O 的切线.【解析】如图一，1O，2O，F 分别是 AB，AC，BC 边的中点，1O FAC 且1O F=A2O，2O FAB 且2O F=A1O，B1O F=BAC，C2O F=BAC，B1O F=C2O F点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点，1O F=A2O=2O E，2O F=A1O=1O D，B1O D=90，C2O E=90，B1O D=C2O E.D1O F=F2O E.12DO FFO E.如图二，延长 CA 至 G，使 AG=AQ,连接 BG、AE.点 E
10、是半圆2O 圆弧的中点，AE=CE=3AC 为直径，AEC=90，ACE=EAC=45，AC=22AECE=3 2，AQ 是半圆2O 的切线，CAAQ，CAQ=90，ACE=AQE=45，GAQ=90AQ=AC=AG=3 2同理：BAP=90，AB=AP=5 2CG=6 2,GAB=QAPAQPAGB，PQ=BGACB=90，BC=22ABAC=4 2BG=22GCBC=2 26，PQ=2 26.证法一：如图三，设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M，过 C 作 CSMF 于 S，过 B 作 BRMF于 R，连接 DR、AD、DM.F 是 BC 边的中点，ABFACFSS.BR=CS，由已证CA
11、Q=90,AC=AQ，2+3=90FMPQ,2+1=90，1=3,同理：2=4,图 一ABCFDE1O2O2O1OAECFBDP图 二QABCEFDPQ1O2O图 三2O1OAECFBDPG图 二QABCEFRDPMQS1O2O1326847596AMQCSA，AM=CS，AM=BR，同可证 AD=BD，ADB=ADP=90,ADB=ARB=90,ADP=AMP=90A、D、B、R 四点在以 AB 为直径的圆上，A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆上，且DBR+DAR=180，5=8,6=7,DAM+DAR=180，DBR=DAMDBRDAM，5=9，RDM=90，5+7=90，6+8=
12、90，PAB=90，PAAB,又 AB 是半圆1O 直径，PA 是半圆1O 的切线.7OPCBA训练 1.如图，PAPB、分别切O于AB、两点，PC满足AB PBAC PCAB PCAC PB，且 APPC，2PABBPC，求ACB的度数【解析】PAPB、都是O的切线，PAPB AB PBAC PCAB PCAC PB，0ABACPBPC PBPC，ABC、三点都在以 P 为圆心，PA 为半径的圆上设ACB，则2APB，902BPC 2PABBPC，2 9021804PABPBA 在PAB中，180APBPABPBA ，即 2 18042180 6180 ，30，即30ACB 训练 2.如图，
13、EF、分别是正方形 ABCD 的边 CDAD、的中点，BECF、相交于 H，求证：AHAB【解析】连接 BF EF、是 CDAD、的中点，BCECDF，CBEDCF，90DCHBECCBEBEC ，即90BHF，ABHF、四点共圆，AHBAFB，CFDCFD，很明显AFBCFD，ABHAHB，AHAB训练 3.如图，已知在五边形 ABCDE 中，3BAE，BCCDDE，且1802BCDCDE 求证：BACCADDAE 【解析】连接 BDCE、，BCCD，1802BCD，CBDCDB，1803BDE，180BAEBDE ，ABDE、四点共圆同理 ABCE、四点共圆，ABCDE、五点共圆，BCCD
14、DE，BACCADDAE 8题型一共顶点等线段【练习 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数33 3yx的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为30，连结 BC 求证：ABC是等边三角形；点 P 在线段 BC 的延长线上，连结 AP，作 AP 的垂直平分线，垂足为点 D，并与 y 轴交于点 D，分别连结 EA、EP 若6CP，直接写出AEP的度数；若点 P 在线段 BC 的延长线上运动（P 不与点 C 重合），AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP的度数；【解析】证明：如图，一次函数333 xy的图象与 x 轴交于点 A（3，0），B（
15、0，33）C（3，0）OAOC又 y 轴AC，ABBC在 RtAOB 中，3tanAOBOBAOBAC=60.ABC 是等边三角形.答：AEP=120解：如图，作 EHCP 于点 H，y 轴垂直平分 AC，ABC 是等边三角形，EA=EC，BEABECAEC21，DEP=30BEH=60ED 垂直平分 AP，EA=EP EAECEP，EH 垂直平分 CP，在CEP 中，CEH=PEHPEC21，BEH=BECCEHAEC21PEC21=60AEP=AECPEC120辅助圆的证法：点 E 在 y 轴上，EAEC，ECEP，以 E 为圆心、EA 长为半径作圆，CP、在该圆上，2 180120AEP
16、ACP 题型二共斜边的直角三角形【练习 2】如图，正方形 ABCD 的中心为 O，面积为22013cm，P 为正方形内一点，且45OPB，:5:6PA PB，求 PB 的长OPDCBAxOABC1PEy111yxOCBA9【解析】连接 OAOB、，ABCD 是正方形，90AOB，45OAB，45OPB，ABOP、四点共圆，90APB 在 RtABP中，90APB，222PAPBAB，设56PAkPBk，则2225362013kk，解得233k，33k，6 33cmPB 题型三四点共圆的简单应用【练习 3】设 D 是等腰 RtABC底边 BC 的中点，过 CD、两点（但不过点 A）任作一圆交直线 AC 于点 E，连接 BE 交此圆于点 F 求证：AFBE【解析】连接 EF，FD由题意可知CDFE、四点共圆，若 E 在线段 AC 上，则45BFDACB ，45BAD，ABDF、四点共圆，90AFBADB，AFBE 若 E 在 AC 的延长线上，则45DFEACB ，45BAD，ABFD、四点共圆，90AFBADB，AFBE 若 E 在 CA 的延长线上，则45BFDACB ，45BAD，ADBF、四点共圆，180AFBADB ，90AFBADB，AFBE综上所述，命题成立