1、函数的零点及应用【例1】(1)设函数yx2与yx2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)函数f(x)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3思路探究(1)将其转化为函数的零点所在区间的判断(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解(1)B(2)B(1)由消去y得x2x2令f(x)x2，则x0是函数yf(x)的零点又f(1)10，由零点存在性定理知，x0(1,2)故选B.(2)因为f(0)10，所以yf(x)至少有一个零点又因为yf(x)是增函数，所以，yf(x)有唯一零点，故选B.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像
2、研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.1已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_(0,1)在同一坐标系中作出f(x)及yk的图像(如下图)可知，当0k1时，yk与yf(x)的图像有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根二分法的应用【例2】用二分法求的近似值(精度为0.1)解设x，则x25，即x250，令f(x)x25.因为f(2.2)0.160.f(2.4)0.760，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，则f(2.3)0.290.因为f(2.
3、2)f(2.3)0，x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 50.因为f(2.2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050.1，所以的近似值可取为2.25.1看清题目的精度，它决定着二分的次数2根据f(a0)f(b0)0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间3初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大4取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解2已
4、知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A. BC(1,2) D(2，)B先作出函数f(x)|x2|1的图像，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实数解时，k的范围为.实际问题的函数建模探究问题1图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的
5、价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润其中情境A，B，C，D分别对应的图像是_(填序号)提示：2环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234污染度6031130污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)20|x4|(x1)，g(x)(x4)2(x1)，h(x)30|log2x2|(x1)，其中x表示月数，f(x)，g
6、(x)，h(x)分别表示污染度问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由提示：用h(x)模拟比较合理理由：因为f(2)40，g(2)26.7，h(2)30，f(3)20，g(3)6.7，h(3)12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理【例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x20
7、0时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)思路探究 解(1)由题意知：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2.所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.又1 200，所以当x100时，f(x)在区间0,200
8、上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时1解函数应用题可归纳为四步：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原其中“建模”是最关键的一步建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型2函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测3为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示年序最大
9、积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地面积解(1)描点作图如图甲甲乙(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb(a0)取其中的两组数据(10
10、.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入yaxb，得用计算器可算得a1.8，b2.4.这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.化归与转化思想的应用设aR，试讨论关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数思路探究先将对数方程转化为二次方程，再将参数a与未知数x分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题解原方程可化为即画出函数yx25x3，(1x3)，的图像，如下：所以，当a时，无解；当a，或1a3时，一解；当3a2.