1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时训练20 数列的综合运用【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知-9，a1,a2,a3,-1五个实数成等比数列，-9，b1,b2，-1四个实数成等差数列，则a2(b1-b2)等于（ ）A.- B.8 C.-8 D.8【答案】B【解析】由已知得a2=-3,b1=-,b2=-,a2(b1-b2)=-3(-)=8.2.在等差数列an中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和等于（ ）A.810 B.840 C.870 D.900【答案】B【解析】由已知得a2=1,a29=55,故
2、S30=15(a2+a29)=840.3.已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1，且bi0（i=1,2,3,n），若a1=b1,a11=b11,则（ ）A.a6=b6 B.a6b6C.a6b6 D.a6b6或a6b6【答案】B【解析】a6=b6.4.已知数列an的通项公式an=5n-1，数列bn满足b1=,bn-1=32bn,若an+logbn为常数，则满足条件的（ ）A.唯一存在，且值为 B.唯一存在，且值为2C.至少存在1个 D.不一定存在【答案】B【解析】bn=b1qn-1=()n-1=26-5n，an=logbn=5n-1+(6-5n)log2为常数.5-5log2=0，即=2
3、.5.若数列an满足an+1=若a1=,则a2 006的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因a1=，故a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=.故an是以3为周期的数列，a2 006=a2=.6.(2010福建厦门一中模拟，8)已知等比数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )A.S1 B.S2 C.S3 D.S4【答案】C【解析】由a1=8,知S1=8，若S2=20，则q=,此时S3=38,S4=65,故S3算错了.7.在如右图的表格中，每格填上一个数字后，
4、使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】易知每列均为公比为的等比数列，即a=2()2=0.5,b=2.5()3=,c=3()4=,a+b+c=1.二、填空题（每小题5分，共15分）8.一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有_只羊.【答案】2解法一：（逆推）过最后一个关口有两只羊，则过第35个关口也是2只羊，依次类推，原来有2只羊.解法二：设原有羊x只，则过第n个关口有an，则a1=+1,an=an-1+1,an-2=(an-1
5、-2),an-2为等比数列，an=2+(x2-1)()n-1.依题意，2+（-1）()n-1=2x=2.9.64个正数排成8行8列，如下所示a11 a12 a18a21 a22 a28 a81 a82 a88在符号aij（1i8,1j8）中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等），a11=,a24=1,a32=,则aij的通项公式为aij=_.【答案】j（）i【解析】由题设第二行的公差为d，每一列的公比为q,则q=.解得d=或d=(舍，此时a210),q=,aij=a2j（）i-2=a24+(j-4)（）i-2=j（）i.1
6、0.三个实数6、3、-1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和-1之间插入一个实数，使得这6个数中的前三个，后三个分别成等差数列，且插入的3个数本身顺次成等比数列，那么所插入的这3个数的和可能是：;3;7.其中正确的序号是（把正确的序号都填上）.【答案】【解析】设插入的三个数为x、y、z，则解得三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知An（n,an）为函数y1=图象上的点，Bn(n,bn)为函数y2=x图象上的点，设cn=an-bn,其中nN*.(1)求证：数列cn既不是等差数列也不是等比数列;(2)试比较cn与cn+1的大小.(1)证明：依题意，an=,bn=
7、n,cn=-n.假设cn是等差数列，则2c2=c1+c3,2(-2)=-1+-3.有2=+，产生矛盾，cn不是等差数列.假设cn是等比数列，则c22=c1c3,即（-2）2=（-1）（-3），有21=47，产生矛盾.an也不是等比数列.(2)【解析】cn+1=-(n+1)0,cn=-n0,=.又0,0nn+1,+n+1,01,1,即cn+1cn.12.设数列an和bn满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列an+1-an(nN*)是等差数列，数列bn-2(nN*)是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；（2）是否存在kN*,使ak-bk(0,)?若存在，求出k；若不存在
8、，说明理由.【解析】(1)由已知a2-a1=-2,a3-a2=-1,d=-1-(-2)=1.an+1-an=(a2-a1)+(n-1)1=n-3.n2,an=(an-an-1)+(an-1-an-2+(a3-a2)+(a2-a1)+a1)=(n-4)+(n-5)+(-1)+(-2)+6=.n=1也合适.an=(nN*).又b1-2=4,b2-2=2.即q=，bn-2=(b1-2)（）n-1,即bn=2+8（）n.数列anbn的通项公式为：an=,bn=2+()n-3.(2)设f（k）=ak-bk=k2-k+7-8（）k=(k-)2+-8（）k.当k4时（k-）2+为k的增函数，-8（）k也为k
9、的增函数，而f(4)= .当k4时ak-bk.又f(1)=f(2)=f(3)=0,不存在k，使f(k)(0,).13.（2010全国大联考，22）已知正项数列an 满足a1=a(0a1,且an+1=.求证:(1)0an+1；(2)an=;(3)+1.证明：(1)y=,函数y=(0x1)是增函数.由已知an+1=,0an1,0an+1.(2)an+1=(nN*),1(nN*),即数列是首项为,公差为1的等差数列.=+(n-1),an=(nN*).(3)由已知an=(0a1),+=1-1.14.已知数列an满足:a1=2,an+1=2(1+)2an.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(An
10、2+Bn+C)2n,试推断是否存在常数A，B，C，使对一切nN*都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由;(3)求证：a1+a2+a3+an2n+2-6.(1)【解析】由已知an+1=2（）2an,即.数列是公比为2的等比数列,又=2,=2n.an=2n n2.(2)【解析】bn+1-bn=An2+(4A+B)n+2A+2B+C2n若an=bn+1-bn恒成立，则n2=An2+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.故存在常数A、B、C满足条件.（3）证明：a1+a2+an=(b2-b1)+(b3-b2)+(bn+1-bn)=bn+1-b1=(n+1)2-4(n+1)+62n+1-6=(n2-2n+3)2n+1-6=(n-1)2+22n+1-62n+2-6.- 6 - 版权所有高考资源网