1、第二章 函数、导数及其应用 第八节对数与对数函数第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理 一、对数的概念1对数的定义：如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数当a10时叫常用对数记作x，当ae时叫自然对数，记作xaxN(a0且a1)xlogaNaNlg Nln N第二章 函数、导数及其应用 2对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)：(1)loga1 0(2)logaa 1(3)对数恒等式：alogaN N(4)换底公式：logablogcblogca 推广 logab 1logba，logablogbclogcd logad 第二章 函数、导
2、数及其应用 3对数的运算法则：如果 a0，且 a1，M 0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMN logaMlogaN；(3)logaMn nlogaM(nR)；(4)log amMn nmlogaM 第二章 函数、导数及其应用 二、对数函数的概念1把ylogax(a0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是2函数ylogax(a0，a1)是指数函数yax的反函数，函数yax与ylogax(a0，a1)的图象关于对称(0，)yx第二章 函数、导数及其应用 三、对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，当0 x1时，当0 x0y0y0增函数减
3、函数第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)设 Ay|ylog2x，x1，By|y12x，0 x0，By|12y1，ABy|12y0，a1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是()A.0，23B.23，0C(1，0)D(0，1)C 当 x1 时 y0.第二章 函数、导数及其应用 3函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增B ylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增第二章 函数、导数及其应用 4(2012江苏高考)函数 f(
4、x)12log6x的定义域为_解析 由 12log6x0，解得 log6x120 x 6，故所求定义域为(0，6 答案(0，6 第二章 函数、导数及其应用 5(2014安阳月考)若 y(log12a)x 在 R 上为减函数，则 a 的取值范围是_解析 由题意知 0log12a1，解得12a1.答案 12，1第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1在运用性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数)2对数值取正、负值的规律：当a1且b1，或0a1且0b0；当a1且0b1，或0a1时，logab0对数函数的单调性和a的值有关
5、，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论第二章 函数、导数及其应用 典题导入求解下列各题(1)12lg 324943lg 8lg 245_；(2)若 2a5bm，且1a1b2，则 m_对数式的化简与求值第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)12lg 324943lg 8lg 24512(5lg 22lg 7)4332lg 212(lg 52lg 7)52lg 2lg 72lg 212lg 5lg 712lg 212lg 512lg(25)12.第二章 函数、导数及其应用(2)由 2a5bm 得 alog2m，blog5m，1a1blogm2logm5logm10.1a1b2
6、，logm102，即 m210.解得 m 10(m0)答案(1)12(2)10第二章 函数、导数及其应用 规律方法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1化简：(1)(2014唐山模拟)已知 2a5b 10，则1a1b()A.12 B1C.2D2(2)lg 4lg 60lg 3lg 5345211_第二章 函数、导数及其应用 解析(1)2a5b 10，a
7、log2 10，blog5 10，利用换底公式可得：1a1blog102log105 log10102.故选 D.第二章 函数、导数及其应用(2)原式lg 4（lg 4lg 15）lg 153210211 lg 15lg 15321 32.答案(1)D(2)32第二章 函数、导数及其应用 典题导入(1)(2014南昌模拟)函数 yf(x)的图象如图所示，则函数ylog12f(x)的图象大致是()对数函数的图象及应用第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 听课记录 由函数 yf(x)的图象知，当 x(0，2)时，f(x)1，所以 log12 f(x)0.又函数 f(x)在(0，1
8、)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以 ylog12f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数结合各选项知，选 C.答案 C第二章 函数、导数及其应用(2)(2012新课标全国卷)当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1.第二章 函数、导数及其应用 解法二：0 x12，14x1，0a1，排除选项 C，D；取 a 12，x12，则有 4122，log12121，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.答案 B第二章 函数、导数及其应用 互动探究若本例(2)变为：
9、若不等式(x1)2logax在x(1，2)内恒成立，实数a的取值范围为_解析 设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1，2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可第二章 函数、导数及其应用 当0a1时，如图，第二章 函数、导数及其应用 要使x(1，2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以11，则 yf(1x)的大致图象是()第二章 函数、导数及其应用 C 由题意可得 f(1x)31x，x0，log13
10、（1x），x0；当 x0 时，yf(1x)为增函数，且 y0 对任意 xR 恒成立显然 a0 时不合题意，从而必有a0，0，412a13.即 a 的取值范围是13，.第二章 函数、导数及其应用(2)因为 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，a1，这时 f(x)log4(x22x3)由x22x30 得1x0，3a1a1，解得 a12.故存在实数 a12使 f(x)的最小值为 0.第二章 函数、导数及其应用 规律方法 研究复合函数yloga f(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数uf(x)及ylogau的单调性(最值)情况确定函数ylogaf(x)的
11、单调性(最值)(其中a0，且a1)第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3已知f(x)loga(ax1)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解析(1)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1，0y1，0z0；反之，logaN0，b0，则 ln(ab)blna；若 a0，b0，则 ln(ab)lnalnb；若 a0，b0，则 lnab lnalnb；若 a0，b0，则 ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)第二章 函数、导数及其应用 解析 对于，当 a1 时，ab1，则 ln(ab)ln abbln ablna，当 0a1 时，0ab1，则 ln(ab)0，blna0，即 ln(ab)blna，故正确；同理讨论 a，b 在(0，)内的不同取值，可知，正确对于，可取特殊值 ae，b1e，则ln(ab)0，lnalnb101，故不正确 答案 第二章 函数、导数及其应用 课时作业