1、第1页专项检测十四 圆锥曲线的热点问题第2页1(2019贵阳市监测考试)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 为短轴的上端点，MF1 MF20，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，且|AB|2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 G，H 两点，若 k1，k2 分别是直线 MG，MH 的斜率，求 k1k2 的值第3页解：(1)由MF1 MF2 0，得 bc，将 xc 代入x2a2y2b21 中，得 yb2a，因为|AB|2，所以2b2a 2，又因为 a2b2c2，所以
2、 a 2，b1，故椭圆 C 的方程为x22y21.第4页(2)由椭圆 C 的方程x22y21 与点(2，1)，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx2k1，将 ykx2k1 代入x22y21 中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题意知 16k(k2)0，得2kb0)过点 M(1，32)，左焦点为 F(1,0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 ykx2 与椭圆 C 有两个不同的交点 P，Q，点 N(0，2)，记直线 NP，NQ 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2的取值范围第7页解：(1)因为左焦点为 F(1,0)，所以 c1.因为椭圆 C 过点 M(1，3
3、2)，所以 1a2 94b21，又 a2b2c2，所以 a24，b23，所以椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得x24y231，ykx2，得(34k2)x216kx40.由(16k)244(34k2)0k2(14，)第8页x1x216k34k2，x1x2434k2，y1y2k(x1x2)41234k2，y1y2k2x1x22k(x1x2)41212k234k2，所以 k1k2y12x1 y22x2 y1y22y1y24x1x2k212，因为 k2(14，)，所以 k212(494，)，所以 k1k2 的取值范围为(494，)第9页3(2019江
4、西省五校协作体联考)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M于 A，B 两点，且椭圆 M 的离心率为 22.(1)求椭圆 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值第10页解：(1)易知椭圆 M 的右焦点为(3，0)，则 c 3.离心率 eca 3a 22，则 a 6，故 b2a2c23.所以椭圆 M 的方程为x26y231.(2)由xy 30，x26y231，解得x4 33，y 33或x0，y 3，因此|AB|4 63.第11页由题意可设直线 CD 的方程为
5、yxn(5 33 n0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为 45的直线 l1 过 C1 的焦点，且 l1与 C2 相切(1)求 p 的值；(2)动点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，若 C1 在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B，设MN MA MB，求证：点 N 在定直线上，并求该定直线的方程第14页解：(1)依题意，设直线 l1 的方程为 yxp2，因为直线 l1 与圆 C2 相切，所以圆心 C2(1,0)到直线 l1：yxp2的距离 d|1p2|1212 2.即|1p2|2 2，解得 p6 或 p2(舍去)所以 p6.第15页(2)证明：依题意设 M(m，3)，由
6、(1)知抛物线 C1 的方程为 x212y，所以 yx212，所以 yx6，设 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线 l2 的斜率为 kx16，所以切线 l2 的方程为 y16x1(xx1)y1.第16页令 x0，则 y16x21y11612y1y1y1，即 B 点的坐标为(0，y1)，所以MA(x1m，y13)，MB(m，y13)，所以MN MA MB(x12m,6)，所以ON OM MN(x1m,3)设 N 点坐标为(x，y)，则 y3，所以点 N 在定直线 y3 上第17页5(2019长沙市统考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为13，左、右焦点分别为 F1，F2，
7、A 为椭圆 C 上一点，AF2F1F2，且|AF2|83.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过 A1，A2 分别作 x 轴的垂线 l1，l2，椭圆 C 的一条切线 l：ykxm 与 l1，l2分别交于 M，N 两点，求证：MF1N 为定值第18页解：(1)由 AF2F1F2，|AF2|83，得b2a 83.又 eca13，a2b2c2，所以 a29，b28，故椭圆 C 的标准方程为x29y281.(2)由题意可知，l1 的方程为 x3，l2 的方程为 x3.直线 l 分别与直线 l1，l2 的方程联立得 M(3，3km)，N(3,3km)，所以F1M(
8、2，3km)，F1N(4,3km)，第19页所以F1M F1N 8m29k2.联立得x29y281，ykxm，得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得 m29k28.第20页所以F1M F1N 8m29k20，所以F1M F1N，故MF1N 为定值2.(注：可以先通过 k0 计算出此时MF1N2，再验证一般性结论)第21页6(2019石家庄教学质量检测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且经过点(1，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(3，0)作直线 l 与椭圆 C 交于
9、不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由第22页解：(1)由题意可得ca 32，1a2 34b21，又 a2b2c2，所以 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)存在定点 Q(4 33，0)，满足直线 QA 与直线 QB 恰关于x 轴对称设直线 l 的方程为 xmy 30，与椭圆 C 的方程联立得xmy 30，x24y21，整理得，(4m2)y22 3my10.第23页设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t,0)(依题意 tx1，tx2)由根与系数的关
10、系可得，y1y22 3m4m2，y1y2 14m2.直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，则直线 QA 与直线QB 的斜率互为相反数，所以 y1x1t y2x2t0，即 y1(x2t)y2(x1t)0.又 x1my1 30，x2my2 30，所以 y1(3my2t)y2(3my1t)0，整理得(3t)(y1y2)2my1y20，第24页从而可得(3t)2 3m4m22m 14m20，即 2m(4 3t)0，所以当 t4 33，即 Q(4 33，0)时，直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称特别地，当直线 l 为 x 轴时，Q(4 33，0)也符合题意综上所述，在 x 轴上存在定点 Q(4 33，0)，使得直线 QA与直线 QB 恰关于 x 轴对称
