1、空间向量的正交分解及其坐标表示 A组学业达标1O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A.，共线B.，共线C.，共线 DO，A，B，C四点共面解析：由，不能构成基底知，三向量共面，所以一定有O，A，B, C四点共面答案：D2已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定解析：ijk，只能确定的坐标为(1,1，1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定答案：D3.如图所示，已知平行六面体OABCOABC，a，c，b，D是四边形OABC的中心，则()A.a
2、bcB.bacC.abcD.abc解析：()abc.答案：D4设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)答案：A5设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_解析：由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正
3、交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)答案：a(4，8,3)，b(2，3,7)6在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为_解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1(a,0，c)，C(0，b,0)，可知ADa，DCb，DD1c.B1的坐标为(a，b，c)答案：(a，b，c)7三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC中点，以，为基底，则的坐标为_解析：()()，即.答案：8棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以，为正交
4、基底，求下列向量的坐标：(1)，；(2)，.解析：(1)，.(2)由(1)得，(0,1,0).9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解析：(1)如图，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.B组能力提升10已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间的一个基底的关系是()A.B.C.D.2解析：对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选C.答案：C11已知向量和在基底a
5、，b，c下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若，则向量在基底a，b，c下的坐标是()A. B.C. D.解析：(2bc)(3a4b5c)3a2b4c，abc，向量在基底a，b，c下的坐标是，故选A.答案：A12若ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若e1，e2，e3不共面，当da bc时，_.解析：由已知d()e1()e2()e3.所以故有3.答案：313在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，即0，.答案：14如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，用a，b，c表示.解析：()()(abc)，又()(bc)，(bc)(abc)a.15.如图，正四棱锥PABCD中，底面边长为2，侧棱长为，M，N分别为AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系若E，F分别为PA，PB的中点，求A，B，C，D，E，F的坐标解析：正四棱锥PABCD中，底面边长为2，侧棱长为，OB，OP2，A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0,2)又E，F分别为PA，PB的中点，由中点坐标公式可得E，F.