1、第三章 三角函数、解三角形 第三章 三角函数、解三角形 第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理 一、任意角1角的分类：(1)按旋转方向不同分为、(2)按终边位置不同分为和正角负角零角象限角轴线角第三章 三角函数、解三角形 2终边相同的角：终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)3弧度制：(1)1 弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角(2)规定：正角的弧度数为 正数，负角的弧度数为 负数，零角的弧度数为 零，|lr，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径第三章 三角函数、解三角形(3)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做
2、弧度制比值lr与所取的r 的大小 无关，仅与 角的大小 有关(4)弧度与角度的换算：360 2弧度；180 弧度(5)弧长公式：l|r，扇形面积公式：S 扇形 12lr12|r2 第三章 三角函数、解三角形 二、任意角的三角函数 1任意角的三角函数定义：设 是一个任意角，角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan yx，它们都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为 函数值 的函数2三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦第三章 三角函数、解三角形 三、三角函数线 设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负
3、半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cos，sin，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan 我们把有向线段OM、MP、AT叫做的、(cos，sin)P(cos，sin)OMMPAT余弦线正弦线正切线第三章 三角函数、解三角形 三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1870的终边在第几象限()A一 B二 C三 D四C 因8702360150.150是第三象限角第三章 三角函数、解三角形 2已知角 的终边经过点
4、(3，1)，则角 的最小正值是()A.23B.116C.56D.34B sin 12 12，且 的终边在第四象限，116.第三章 三角函数、解三角形 3(教材习题改编)若sin 0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C 由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限第三章 三角函数、解三角形 4若点 P 在23 角的终边上，且 P 的坐标为(1，y)，则 y 等于_解析 因 tan23 3y，y 3.答案 3第三章 三角函数、解三角形 5弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_解析 弧长 l3，圆心角 34，由弧长公式 lr 得 r l3344，面积 S12
5、lr 6.答案 4 6第三章 三角函数、解三角形 关键要点点拨1对任意角的理解(1)“小于90的角”不等同于“锐角”“090的角”不 等 同 于“第 一 象 限 的 角”其 实 锐 角 的 集 合 是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等第三章 三角函数、解三角形 2三角函数定义的理解三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin yr，cos xr，tan yx.第三章 三角函数、解三角形 典题导入已
6、知角 45，(1)在7200范围内找出所有与角 终边相同的角；(2)设集合 Mxxk2 18045，kZ，Nxxk4 18045，kZ，判断两集合的关系角的集合表示及象限角的判定第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)所有与角 有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得765360k 45360，从而 k2 或 k1，代入得 675或 315.第三章 三角函数、解三角形(2)因为Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：
7、MN.第三章 三角函数、解三角形 规律方法1利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练1(1)给出下列四个命题：34 是第二象限角；43 是第三象限角；400是第四角限角；315是第一象限角其中正确的命题有()第三章 三角函数、解三角形 A1个 B2个C3个D4个(2)如果角是第二象限角，则角的终边在第_象限第三章 三角函数、解三角形 解析
8、(1)34 是第三象限角，故错误.43 3，从而43 是第三象限角正确40036040，从而正确31536045，从而正确第三章 三角函数、解三角形(2)由已知2 2k2k(kZ)，则2k2 2k(kZ)，即2k2 2k(kZ)，故 2k0)，则 tan 的最小值为()A1 B2C.12D.2三角函数的定义第三章 三角函数、解三角形 听课记录 根据已知条件得 tan t21tt1t2，当且仅当t1 时，tan 取得最小值 2.答案 B第三章 三角函数、解三角形(2)已知角 的终边上一点 P 的坐标为sin23，cos23，则角 的最小正值为()A.56B.23C.53D.116第三章 三角函数
9、、解三角形 听课记录 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin 23 32，故 2k6(kZ)，所以 的最小正值为116.答案 D第三章 三角函数、解三角形 规律方法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练2(1)已知角 的终边与单位圆的交点 Px，32，则 tan ()A.3 B 3C.33
10、D 33B 由|OP|2x2341，得 x12，tan 3.第三章 三角函数、解三角形(2)已知角 的终边经过点 P(m，3)，且 cos 45，则 m 等于()A114B.114C4 D4C 由题意可知，cos mm2945，又 m0，解得 m4.第三章 三角函数、解三角形 典题导入(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？扇形的弧长及面积公式第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)设圆心角是，半径是 r，则2rr1012r24r1，8(舍)，r4，12，故扇形圆心角为12.第三章 三角函数、解三角形(2)设圆
11、心角是，半径是 r，则 2rr40.S12r212r(402r)r(20r)(r10)2100100，当且仅当 r10 时，Smax100.所以当 r10，2 时，扇形面积最大第三章 三角函数、解三角形 互动探究若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析 设圆半径为 R，则圆内接正方形的对角线长为 2R，正方形边长为 2R，圆心角的弧度数是 2RR 2.答案 2第三章 三角函数、解三角形 规律方法1在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷 2记住下列公式：lR；S12lR；S12R2.其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，(02)为圆心角
12、，S 是扇形面积 第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练3若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解析 设扇形的圆心角为，半径为 R，弧长为 l，根据已知条件12lRS 扇，第三章 三角函数、解三角形 则扇形的周长为：l2R2S扇R 2R4 S扇，当且仅当2S扇R 2R，即 R S扇时等号成立，此时 l2 S扇，lR2，因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值第三章 三角函数、解三角形(2014抚州一中月考)已知sin sin，那么下列命题不成立的是()A若，是第一象限角，则tan tan B若，是第二象限角，则cos cos C若，是第三象限角，则
13、tan tan D若，是第四象限角，则cos cos【创新探究】三角函数线的应用第三章 三角函数、解三角形【思路导析】通过画三角函数线逐项作出判断【解析】对选项A，作出三角函数线如图，由图第三章 三角函数、解三角形 可知tan tan 成立；对于选项B，作出三角函数线如图，由图第三章 三角函数、解三角形 可知cos cos 成立；对于选项C，作出三角函数线如图，由图可知tan tan，故选项C不成立【答案】C第三章 三角函数、解三角形【高手支招】涉及三角不等式，已知象限角比较大小问题时，直接解答抽象易错，而借助于三角函数线可直观地解决，利用时要注意准确理解并作出角在各象限内的三角函数线同时，注
14、意三角函数线的方向代表三角函数值的正负，其长度代表三角函数值的大小第三章 三角函数、解三角形 体验高考1(2011课标全国高考)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos 2()A45 B35C.35D.45第三章 三角函数、解三角形 B 设 P(t，2t)(t0)为角 终边上任意一点，则 cos t5|t|.当 t0 时，cos 55；当 t0 时，cos 55.因此 cos 22cos21251 35.第三章 三角函数、解三角形 2(2011江苏高考)已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin
15、 2 55，则y_解析 因为 sin y42y22 55，所以 y0，且 y264，所以 y8.答案 8第三章 三角函数、解三角形 3(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为_第三章 三角函数、解三角形 解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解 设 A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧 PA 长为 2，ABP212.设 P(x，y)，第三章 三角函数、解三角形 则 x21cos22 2sin 2，y11sin22 1cos 2，OP 的坐标为(2sin 2，1cos 2)答案(2sin 2，1cos 2)第三章 三角函数、解三角形 课时作业