1、hhzq_h第二章极 限数学归纳法（1）课题引入 观察：633，853，1037，1257，143 11，16511，786711，我们能得出什么结论？任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和哥德巴赫猜想 教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法不完全归纳法完全归纳法1)55(,22nnaNnn对任何?1在等差数列中，已知首项为，公差为，na1ad,2,1,0131211daadaadaa?,314nadaa dnaan)1(1归纳22)55(nnan2数列通项公式为：验证可知：,1,1,1,11 aaaa1255a
2、如那么，怎样判断用归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？先证明当n 取第一个值（如）时命题成立，然后假0n10 n设当时命题成立，再证明当时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法),(0nkNkkn1 kn数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确.dnaan)1(1如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么na1ad对一切都成立 Nn证明：（1）当n=1时，,1a左边,011ada右边等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak那么daakk1ddka)1(1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）
3、和（2），可知的等式对任何都成立 Nn这就是数学归纳法它一定能保证结论正确dka1)1(12.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；10 nn0n（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确)N(0nkkkn且1 kn递推基础递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始的所有正整数n都正确.说 明:1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题.3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷例题讲解 例
4、1 用数学归纳法证明.)12(5312nn证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立（2）假设当时，等式成立，kn.)12(5312kk那么1)1(2)12(531kk这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立 Nn1)1(2(2kk122kk2)1(k就是例2 用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn右边 163216)12)(1(3212222kkkk那么（2）假设当n=k时，等式成立，等式成立.证明：（1）当n=1时，左边121，就是22222)1(321kk2)1(6)12)(1(kkkk6)1(6)12)(1(2kkkk6)6
5、72)(1(2kkk6)672)(1(2kkk6)32)(2)(1(kkk61)1(21)1)(1(kkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立 Nn6)12)(1(3212222nnnnnn2112121212132求证：证明：当n=1时，左边,21右边,212111 假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk那么1322121212121kk等式成立.这就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。（nN）.就是211)21(1211k.2111k例3 用数学归纳法证明注意：这不是数学归纳法的证明！说
6、明：从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的。错误原因在第（2）步，它是直接利用等比数列的求和1322121212121kk的和，这是在用数学归纳法证题而没有利用“归纳假设”，如何改正？公式求出了当n=k+1时式子时极易犯的错误，要引以为戒.nn2112121212132求证：证明：当n=1时，左边,21右边,212111 假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk那么1322121212121kk等式成立.这就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。（nN）.就是121211kk例3 用数学
7、归纳法证明12121k.2111k111111111234212122nnnnn例4 用数学归纳法证明证明：(1)当n=1时，左边=，11221右边11 121等式成立.(2)假设n=k时,等式成立，即111111111234212122kkkkk1111112322112(1)kkkkkk111111112342122(1)12(1)kkkk11111122212(1)kkkkk=那么当n=k+1时，=1111(1)1(1)2212(1)kkkk=这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立.先证明当n 取第一个值（如）时命题成立，然后假0n10 n设当时命题成立，再证明当时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法),(0nkNkkn1 kn数学归纳法:课堂小结2.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；10 nn0n（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确)N(0nkkkn且1 kn递推基础递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始的所有正整数n都正确.注意:1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题.练习：P64 练习：1，2，3作业：67P习题2.1 1，2，3P66 练习：1，2，3二教材 读书 P3741，完成分级训练