1、5.3等比数列及其前n项和组基础题组1.(2013江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12D.242.(2015台州一模,2,5分)已知正项等比数列an中,若a1a3=2,a2a4=4,则a5=()A.4B.4C.8D.83.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,3)等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+a2n-1),S4=40,则a1=()A.B.1C.2D.35.(2015金丽衢一联,
2、3,5分)已知an为等比数列,则“a1a2a3”是“an为递减数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2013课标,6,5分)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an7.(2016领航高考冲刺卷五,4,5分)已知等比数列an的公比q1,令bn=an+1(nN*),若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,则q=.15.(2015衢州二模文,14,4分)定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,
3、f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“等比函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=3x;f(x)=x3;f(x)=;f(x)=log2|x|.其中是“等比函数”的为.16.(2015浙江五校联考,16)设a,bR,关于x的方程(x2-ax+1)(x2-bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列,若q,则ab的取值范围是.17.已知数列an中,a1=1,且an+1+an=2n+1(nN*),则数列an的通项为an=.18.(2015嘉兴测试二文,17,15分)已知数列an是等比数列,且满足a2+a5=36,a3a4=128.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列a
4、n是递增数列,且bn=an+log2an(nN*),求数列bn的前n项和Sn.19.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.20.(2015浙江冲刺卷六,19)已知数列an满足a1=,an+1=(nN*),其前n项和为Sn.(1)求证:数列是等比数列;求数列an的通项公式;(2)求证:Sn-.B组提升题组1.(2015浙江六校联考,5)设数列an和bn分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=8,a4=b4=1,则以下结论正确的是()A.a
5、2b2B.a3b5D.a6b62.(2015浙江镇海中学期中,4)在各项均为正数的等比数列an中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7=()A.4B.6C.8D.8-43.(2015浙江杭州第二次质检,4)已知数列an是各项均为正数的等比数列,且满足+=+,+=+,则a1a5=()A.24B.8C.8D.164.(2015浙江五校联考,9)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A.B.C.D.5.(2015稽阳联考,4,5分)正项数列an满足:a1=
6、1,a9=7,且an+1=(nN*,n2),则a5=()A.4B.3C.16D.96.(2016上海普陀调研测试,4,4分)已知数列an的前n项和Sn=2n-a(aR),则a8=.7.(2015浙江冲刺卷六,10)已知等比数列an的首项a1=4,公比为q,前n项积为Tn(nN*),若2am-1am+1-am=0,T2m-1=,则m=,q=.8.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.9.(2015浙江嘉兴一中一模,11)已知等差数列an的公差d0,首项a1=4,且a1,a5,a13成等比数列,则数列an的通项公式为an=,数
7、列的前6项和为.10.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.11.(2015浙江东阳中学期中)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6=.12.(2014广东,13,5分)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.13.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,12)设等差数列an的各项均为整数,其公差d0,a3=4,若a1,a3,ak(k3)构成等比数列bn的前三项,则k=,bn=.14.(2015浙江丽水一模,15)已知正项等
8、比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,若对一切nN*都有an+12Sn,则q的取值范围是.15.(2015浙江宁波高考模拟考试,17)设数列an是公比小于1的正项等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(n+2-)an,且数列bn是单调递减数列,求实数的取值范围.16.(2016温州高三联考文,17,15分)已知数列an的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(nN*)的两实根,且a1=1.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列是等比数列,并求数列an的通项公式.17.
9、(2013湖北,18,12分)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得+1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.组基础题组1.A由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24,选A.2.Bq2=2,a1a3=2,因为an的各项均为正,所以a2=,q=,所以a5=a2q3=4.3.B设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a
10、7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.4.BS4=40,公比q-1.由S2n=4(a1+a3+a2n-1),即a1+a2+a2n=4(a1+a3+a2n-1),得a2+a4+a2n=3(a1+a3+a2n-1)0,故q=3.由S4=4(a1+a3)=40a1=40,得a1=1.5.C设等比数列an的公比为q,则由a2-a3=(a1-a2)q0,a1-a20,可得q0.又a1-a2=a1(1-q)0,则或所以an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)0恒成立,即an+1a2a3成立,所以必要性成立,即等比数列an中,“a1a2a3”是“an
11、为递减数列”的充要条件,故选C.6.D因为a1=1,公比q=,所以an=,Sn=31-=3-2=3-2an,故选D.7.C由an+2=an+1+2an可得a3=a2+2a1,所以a2q=a2+,即q2-q-2=0,解得q=-1或q=2(舍去),从而可得a1=-1,则数列an的前2016项和S2016=0,故选C.8.答案96解析设公比为q,由a4+a5=(a2+a3)q2及已知,得q2=4,则a8+a9=(a4+a5)q4=96.9.答案1;3解析由题意知a1=3-a,当n2时,Sn-1=3n-1-a,所以an=3n-3n-1=23n-1(n2).又因为an为等比数列,所以q=3,3-a=2,
12、所以a=1.10.答案解析当等比数列的公比q=1时,显然不满足条件,所以排除这一情况.当等比数列的公比q1时,210S30+S10=(210+1)S20210+=(210+1)210(1-q30)+(1-q10)=(210+1)(1-q20)210q20(1-q10)=q10(1-q10),q0,且q1,210q10=1,q=.11.答案2;22011解析根据题意可得解得a1=,q=2,所以an=2n-1=2n-5,故a2016=22011.12.答案100解析由lgxn+1=1+lgxn(nN*)得lgxn+1-lgxn=1,=10,数列xn是公比为10的等比数列,xn+100=xn1010
13、0,x101+x102+x200=10100(x1+x2+x3+x100)=10100,lg(x101+x102+x200)=lg10100=100.13.答案0;1;1解析由题意得c2=1+d,c3=1+2d.因为2cn+3为等比数列,所以(2c2+3)2=(2c1+3)(2c3+3),即(2d+5)2=5(4d+5),解得d=0,所以cn=1,c2015=1.14.答案-解析由bn=an+1(nN*)得an=bn-1(nN*),所以an有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中,又|q|1,所以q-.(15分)B组提升题组1.A由题意可知,an的公差为-,bn的公比为.通过计算可知
14、,选A.2.C+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=8.3.C由已知得=,=,从而a1a2=4,a3a4=16,所以q4=4,因为q0,所以q=,所以=2,所以a1a5=q4=8,故选C.4.C由题意知an+1=f(n+1)=f(1)f(n)=an,则Sn=1-,所以Sn.5.Ban+1=-1,(an+1+1)(an-1+1)=(an+1)2,即an+1成等比数列,(a5+1)2=(a1+1)(a9+1)=16,a5=3,故选B.6.答案128解析a1=S1=2-a,当n2时,Sn-1=2n-1-a,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n2),所以a8=27=128.7.答
15、案4;解析an为等比数列,2am-1am+1-am=0,2-am=0,又am0,am=.T2m-1=,=,得2m-1=7,m=4.从而由a4=4q3=,得q=.8.答案1解析设an的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1),(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),d=-1,a3+3=a1+1,公比q=1.9.答案n+3;1008解析a1,a5,a13成等比数列,则=a1a13,即=a1
16、(a1+12d).又a1=4,d0,所以d=1.所以an=n+3.数列是首项为16,公比为2的等比数列,所以S6=1008.10.答案2n-1解析由已知得,a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,解得或而数列an是递增的等比数列,a10,dN*,Z.又k3,且k为正整数,d0,k-3=4,即k=7,d=1.an=n+1,bn=2n.14.答案3,+)解析当q=1时,an+12Sn显然不成立;当q1时,an+12Sn对一切nN*恒成立,即qn2对一切nN*恒成立.此数列为正项等比数列,若0qqn2(qn-1+1)2,矛盾,舍去;若q1,则qn2qn(q-1)2(qn-1)qn+1-3qn+20
17、对一切nN*恒成立.qn+1-3qn+2=qn(q-3)+20,当q3时,一定成立.当1q0,0qbn+1,得(n+2-)24-n(n+3-)23-n,(13分)即n+1,所以(n+1)min=2,故2.(15分)16.解析(1)an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(nN*)的两实根,a1=1,a2=1,a3=3,a4=5.(2)证明:=-1,数列是首项为a1-2=,公比为-1的等比数列.an-2n=(-1)n-1,故an=2n-(-1)n.17.解析(1)设等比数列an的公比为q,则由已知可得解得或故an=3n-1,或an=-5(-1)n-1.(2)不存在.理由如下:若an=3n-1,则=,故是首项为,公比为的等比数列,从而=1.若an=-5(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,从而=故1.综上,对任何正整数m,总有1.故不存在正整数m,使得+1成立.