1、专题卷07 圆锥曲线的方程章节重难点突破卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是A椭圆B双曲线C圆D抛物线【解答】解：，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设，所以，因为，消去可得：，故选：2设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为ABCD【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，双曲线的方程为的渐近线方程为，的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，双曲线的方程为
2、，故选：3设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为A2B3CD【解答】解：设，是线段的中点，把，分别代入双曲线，得，直线的斜率，的斜率，与的斜率的乘积等于2，此双曲线的离心率故选：4已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为A6B7C8D9【解答】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，可得双曲线，焦点为，由双曲线的定义可得，由圆可得圆心，半径，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则的最小值为故选：5设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为ABCD2【解答】解：是椭圆的上
3、顶点，所以，点在上，设，所以，当时，取得最大值，最大值为故选：6已知椭圆的焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点若，则的方程为ABCD【解答】解：，又，又，在轴上在中，在中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，所以椭圆的方程为：故选：7、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为A1B2C3D4【解答】解：延长和交于，椭圆，可得：，由椭圆的定义可得，由，可得，由等腰三角形的三线合一，可得，可得，由为的中位线，可得故选：8设双曲线的左、右焦点为，左顶点为，点是双曲线在第一象限内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则ABCD【解答】解：由题意知，设，由双曲线的定义知，在中，由
4、余弦定理知，在中，由余弦定理知，解得，故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是A存在点，使得BC对于任意的点，必有向量与向量共线D面积的最小值为【解答】解：设，设直线，联立，化为，得到，设过点的切线为，联立，整理可得，由，可得同理可得过点的切线斜率为，对于，故错
5、；对于，可得，处的切线方程分别为：，可得，又因为直线的斜率为，故正确；对于，设的中点为，则由由，轴，向量，向量与向量共线，故正确；对于，如图，设准线与轴的交点为，面积的，当最短时（最短为，也最短，最短为，面积的最小值为，故正确故选：10过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是A以线段为直径的圆与直线相交B以线段为直径的圆与轴相切C当时，D的最小值为4【解答】解：的焦点，准线方程为，设，在准线上的射影为，由，可得线段为直径的圆与准线相切，则与相交，故对；当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，可
6、得，设，可得的横坐标为，的中点的横坐标为，当时，的中点的横坐标为，显然以线段为直径的圆与轴相交，故错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，可得，可得，又，可得，则，故正确；显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故正确故选：11已知的两个顶点，的坐标分别是，且，所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是A当时，点的轨迹是双曲线B当时，点在圆上运动C当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大D无论如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形【解答】解：设，则由题知，即为点的轨迹方程当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去两个顶点），故错误；当时，点的轨迹为，点在圆上运动，故正确；当时
7、，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含左右顶点），离心率，随的增大而减小，故错误；由，可得，当时，点的轨迹为，当时，点的轨迹为，均为轴对称图形，故正确故选：12已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是A椭圆的焦距为2B曲线过点的切线斜率为C若、为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为D的最小值为2【解答】解：圆关于直线对称的曲线为，由椭圆定义可知，故，由图可知，故，解得，故焦距为4，故选项错误；设曲线过点的切线斜率为，则切线方程为，由圆心到切线方程的距离为半径可得，解得，故选项正确；由可知，则椭圆方程为，设，
8、则，又，都在椭圆上，即，则，故选项正确易知，故选项错误；故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则【解答】解：由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，代入并化简得，设，则；，由抛物线的定义可得故答案为：14点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为；【解答】解：设点的坐标为，可得点到直线的，当时，取得最大值为，当时，最小值为故答案为：；15在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为2【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：216椭圆的上、下顶点分别为
9、，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长度为 6【解法一】取特殊点，如图令B点为椭圆左顶点，由，得BO2DO，由相似三角形可得AO3【解法二】解：根据题意可得，设，由，可得点，在以为直径的圆上，又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，所以，又，可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入结合，可得，所以，短轴长为6故答案为：6四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已
10、知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？【解答】解：取隧道截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，抛物线方程为，行车道总宽度，将代入抛物线方程，限度为答：车辆通过隧道的限制高度是3.25米18已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”条件：“方程表示双曲线”，其中，（1）若条件成立，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围【解答】解：（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且，解得，所以的取值范围为（2）若方程表示双曲线，则，解得或若是的充分不必要条件，则，或，解得或，所以的取值范围为，19已知点，的坐标分别是，直线，相交于
11、点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2（）求点的轨迹方程；（）若直线与曲线交于，两点，求的面积【解答】解：（）设，则，所以，所以轨迹方程为或；（）方法一：设，联立方程，得，所以，所以，到直线的距离为，所以方法二：设，联立方程，得，所以，所以20已知椭圆的左右焦点，在轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过的直线，使得直线与椭圆交于，？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设椭圆的方程为，可得，即，则椭圆方程为；（2）假设存在过的直线，使得直线与椭圆交于，设直线的方程为，联立椭圆方程可得，设，即为，由，化为，可得，化为，可得，则存
12、在过的直线，使得直线与椭圆交于，21已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在求的取值范围；试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，解得，则的方程为因为的焦点与的焦点相同，所以，所以，则的方程为（2）联立得，其中，解得又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是设，则，则，故直线，的斜率之积不是定值22如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由圆的方程知，圆心为，半径为设圆和圆内切于点，则，三点共线，且因为圆过点，则，于是，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆因为，则，又，则，所以曲线的方程：（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，即设点，则，设点，则，则若为定值，则，解得，此时为定值当直线与轴重合时，点，对于点，则，此时综上分析，存在点，使得为定值
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