1、第二章 函数、导数及其应用 第七节 指数与指数函数 第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理 一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根n1且nN*xna第二章 函数、导数及其应用 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数，负数的 n 次方根是一个 负数n a零的 n 次方根是零当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为 相反数n a(a0)负数没有偶次方根第二章 函数、导数及其应用 2.两个重要公式(1)n an a，n为奇数，|a|a（a0），a（a0），n为偶数；(2)(n a)n a(注意 a 必须使n a有意义)第二章 函数、导数及其
2、应用 二、有理数指数幂第二章 函数、导数及其应用 2有理数指数幂的性质(1)aras(a0，r，sQ)；(2)(ar)s(a0，r，sQ)；(3)(ab)r(a0，b0，rQ)arsarsarbr第二章 函数、导数及其应用 三、指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴，过定点上方(0，1)第二章 函数、导数及其应用 性质定义域值域单调性函数值变化规律当x0时，当x0时，当x0时，R(0，)减函数增函数y1y10y10y1第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9 B7C10 D9B 原式(26)17.第二章 函数
3、、导数及其应用 2(2014洛阳模拟)函数ylg(1x)的定义域为A，函数y3x的值域为B，则AB()A(0，1)B(1，3)CRDC Ax|x1，By|y0，ABR.第二章 函数、导数及其应用 3已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)A 当x1时，f(x)5.第二章 函数、导数及其应用 4若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a的值为_解析 a23a31，a2或a1(舍)答案 2第二章 函数、导数及其应用 5若函数 y(a21)x 在(，)上为减函数，则实数 a 的取值范围是_解析 由题意知 0a211，即 1a22
4、，得 2a1 或 1a 2.答案(2，1)(1，2)第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1进行分类讨论第二章 函数、导数及其应用 典题导入化简下列各式(其中各字母均为正数)指数式的化简与求值第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 规律方法指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根
5、式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1计算：第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 典题导入(2012四川高考)函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是()指数函数的图象及应用第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 听课记录 解法一：当 0a0，且 a1)的图象必过点(1，0)，所以选 D.答案 D第二章 函数、导数及其应用 规律方法1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解第二章 函数、导数及
6、其应用 跟踪训练2(1)(2014杭州模拟)函数ya|x|(a1)的图象是()第二章 函数、导数及其应用 B ya|x|ax（x0），ax（x0）.当 x0 时，与指数函数 yax(a1)的图象相同；当 x0 时，yax 与 yax 的图象关于 y 轴对称，由此判断 B 正确第二章 函数、导数及其应用(2)方程2x2x的解的个数是_解析 方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案 1第二章 函数、导数及其应用 典题导入已知函数 f(x)23|x|a.则函数 f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_指数函数
7、的性质及应用第二章 函数、导数及其应用 听课记录 令 t|x|a，则 f(x)23t，不论 a 取何值，t 在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，又 y23t是单调递减的，因此 f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)答案(，0 0，)第二章 函数、导数及其应用 互动探究在本例条件下，若 f(x)的最大值等于94，则 a_解析 由于 f(x)的最大值是94，且94232，所以 g(x)|x|a 应该有最小值2，从而 a2.答案 2第二章 函数、导数及其应用 规律方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及
8、值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3(1)(2012福州质检)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()Aabc BacbCcabDbcaA 由 0.20.6，0.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.第二章 函数、导数及其应用(2)(2012上海高考)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析 结合函数图象求解因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在
9、1，)上单调递增，由函数图象可知a1.答案(，1第二章 函数、导数及其应用 (2012福建高考)若函数 y2x 图象上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为()A.12 B1C.32D2【创新探究】指数函数图象与线性规划创新交汇应用第二章 函数、导数及其应用【思路导析】作出 y2x 的图象及利用线性规划作出可行域，再分析求解【解析】在同一直角坐标系中作出函数y2x 的图象及xy30，x2y30 所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1 时，函数 y2x 的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.【答案】B第二章 函数、导数及
10、其应用【高手支招】高考中对指数函数的创新考查，一是突出新概念、新定义、新情景问题，二是利用其图象与其他知识交汇创新命题，突出考查思维能力和数学思想，解决时要注意数形结合思想与等价转化思想的应用第二章 函数、导数及其应用 体验高考1(2013新课标全国高考)若存在正数x使2x(xa)1，则a的取值范围是()A(，)B(2，)C(0，)D(1，)第二章 函数、导数及其应用 D 由题意可得，ax12x(x0)令 f(x)x12x，则该函数在(0，)上为增函数，f(x)minf(0)1，故当 a1 时，存在正数 x 使原不等式成立第二章 函数、导数及其应用 2(2012天津高考)已知 a21.2，b1
11、20.8，c2log52，则 a，b，c 的大小关系为()AcbaBcabCbacDbcaA a21.2201，b120.8201，c2log52log541，所以 ac，bc.又因为 a265245b，所以 abc.第二章 函数、导数及其应用 3(2012上海高考)方程4x2x130的解是_解析 方程4x2x130可化为(2x)222x30，即(2x3)(2x1)0.2x0，2x3，xlog23.答案 log23第二章 函数、导数及其应用 4(2012山东高考)若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，则 a_第二章 函数、导数及其应用 解析 讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值 若 a1，有 a24，a1m，此时 a2，m12，此时 g(x)x为减函数，不合题意 若 0a1，有 a14，a2m，故 a14，m 116，检验知符合题意答案 14第二章 函数、导数及其应用 课时作业