1、第三章 三角函数、解三角形第四节 函数yAsin(x)的图象及三角(2015湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式；(2)将 yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为512，0，求 的最小值解：(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6，数据补全如下表：x02322 x123712561312 Asin(x)05050且函数解析式为 f(x)5sin2x6.(2)
2、由(1)知 f(x)5sin2x6，则 g(x)5sin(2x26)因为函数 ysin x 图象的对称中心为(k，0)，kZ，令 2x26 k，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，所以令k2 12512，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.1变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 xx 确定平移单位 2用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设 zx，由z 取 0，2，32，2来求出相应的 x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定 已知函数 f(x)3s
3、in12x4，xR.(1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数 ysin x 的图象作怎样的交换可得到 f(x)的图象？解：(1)列表取值：x23252729212x402322 f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把 ysin x 的图象向右平移4 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图象 函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则 f(0)的值是_解析：由图象知 A 2，T4712 3 4，T，又 T2，2，根据函数图象的对应关
4、系，得 23 2k，2k3，kZ.令 k0，取 3.函数解析式为 f(x)2sin2x3，f(0)2sin3 62.答案：621本题求 f(0)的关键是求参数“”值，常用方法有：(1)代入法，(2)“五点法”2用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的峰(谷)点或第一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 x0.“第二点”(即图象的“峰点”)时 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 x；“第四点”(即图象的“谷点”)时 x32；“第五点”时 x2.已知函数 yAsin(x)k(A0，0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为2，直线 x3 是其图象的一条对称
5、轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin4x6 By2sin2x3 2Cy2sin4x3 2 Dy2sin4x6 2解析：由函数 yAsin(x)k 的最大值为 4，最小值为 0，可知 k2，A2.由函数的最小正周期为2，可知2 2，得 4.由直线 x3 是其图象的一条对称轴，可知 43 k2，kZ，从而 k56，kZ，故满足题意的是 y2sin4x6 2.答案：D(2015重庆卷)已知函数 f(x)12sin 2x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象当 x2，时，求
6、 g(x)的值域解：(1)f(x)12sin 2x 3cos2x 12sin 2x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最小值为2 32.(2)由条件可知 g(x)sinx3 32.当 x2，时，有 x3 6，23，从而 ysinx3 的值域为12，1，那么 ysinx3 32 的值域为1 32，2 32.故 g(x)在区间2，上的值域是1 32，2 32.讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数 设函数 f(x)sin2 xcos2 x2 3si
7、n xcos x，且 yf(x)图象关于直线 x 对称，其中，为常数且(12，1)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)图象经过点4，0，求 f(x)在区间0，35上的最大值和最小值解：(1)f(x)cos 2x 3sin 2x 2sin(2x6)由于 x是 yf(x)图象的一条对称轴 可得 sin(26)1 26 k2(kZ)，即 k213(kZ)又 12，1，kZ k1 故 56 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)图象过4，0，得 f4 0.即 2sin562 6 2sin 4 2.2 故 f(x)2sin53x6 2 由 0 x35，有653x6 56 12s
8、in53x6 1 得1 22sin53x6 22 2 f(x)max2 2，f(x)min1 2.(2014湖北卷)某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差解：(1)f(8)10 3cos128 sin128 10 3cos23 sin23 10 312 32 10.故实验室上午 8 时的温度为 10.(2)因为 f(t)10232 cos12t12sin12t 102sin12t3，又 0t24，所以3 12t3 73，1sin12t3
9、 1.当 t2 时，sin12t3 1；当 t14 时，sin12t3 1.于是 f(t)在0，24)上取得最大值为 12，取得最小值为 8.故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4.1三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模 2建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3
10、月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由解：6 月份盈利最大，由条件可得：出厂价格 y1 与月份 x 的函数关系式为 y12sin4 x4 6(1x12 且 xZ)，销售价格 y2 与月份 x 的函数关系式为 y22sin4 x348(1x12 且 xZ)，则利润函数关系式为ym(y2y1)m2sin4 x3482sin4 x4 6 m(22 2sin4 x)(1x12 且 xZ)所以，当 x6 时，ymax(22 2)m.故 6 月份该商店盈利最大