1、第三章 三角函数、解三角形 第六节简单的三角恒等变换第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理半角公式(不要求记忆)1用 cos 表示 sin22，cos22，tan22.sin22 1cos 2；cos22 1cos 2；tan22 1cos 1cos .第三章 三角函数、解三角形 2用 cos 表示 sin2，cos2，tan2.sin2 1cos 2；cos2 1cos 2；tan2 1cos 1cos .第三章 三角函数、解三角形 3用 sin ，cos 表示 tan2.tan2 sin 1cos 1cos sin.第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1(教材习题改编)已知 cos
2、13，(，2)，则 cos2 等于()A.63 B 63C.33D 33第三章 三角函数、解三角形 B cos 13，(，2)，2 2，cos2 1cos 21132 63.第三章 三角函数、解三角形 2已知函数 f(x)cos24 x cos24 x，则 f12 等于()A.12B12C.32D 32B f(x)cos24 x sin2x4 sin 2x，f12 sin6 12.第三章 三角函数、解三角形 3已知 tan 12，则cos 2 sin 2 1cos2等于()A3 B6C12 D.32A cos 2sin 21cos22cos22sin cos cos2 22tan 3.第三章
3、三角函数、解三角形 4.sin 20cos 20cos 50_解析 sin 20cos 20cos 5012sin 40cos 50 12sin 40sin 40 12.答案 12第三章 三角函数、解三角形 5若1tan 1tan 2 014，则1cos 2 tan 2 _解析 1cos 2tan 21sin 2cos 2（cos sin）2cos2sin2 cos sin cos sin 1tan 1tan 2 014.答案 2 014第三章 三角函数、解三角形 关键要点点拨三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明(1)三角函数的化简常见的
4、方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解第三章 三角函数、解三角形(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可第三章 三角函数、解三角形 典题导入化简2cos4x2cos2x122tan4 x sin24 x.三角函数式的化简第三章 三角函数、解三角形 听课记录 原式2sin2xcos2x122sin4x cos24xcos4x12（1sin22x）2sin4x cos4x12cos22xsin22x
5、12cos 2x.第三章 三角函数、解三角形 规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练1化简1tan2tan 2 1tan tan 2.解析 解法一：原式cos2sin2sin2cos21sin cos sin2cos2 cos22 sin22sin2 cos2第三章 三角函数、解三角形
6、 cos cos2 sin sin2cos cos2 2cos sin cos2cos cos22cos sin cos 2cos cos22sin.第三章 三角函数、解三角形 解法二：原式1tan22tan21sin sin2cos cos 2 2tan cos cos2 sin sin2cos cos2 2cos sin cos2cos cos22sin.第三章 三角函数、解三角形 典题导入(1)(2012重庆高考)sin 47sin 17cos 30cos 17()A 32 B12C.12D.32.三角函数式的求值第三章 三角函数、解三角形 听课记录 原式sin（3017）sin17co
7、s 30cos 17sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17sin 30cos 17cos 17sin 3012.答案 C第三章 三角函数、解三角形(2)已知、为锐角，sin 35，cos 45，则 2 _.听课记录 sin 35，0，2，cos 45，cos()45，(0，)，sin()35，第三章 三角函数、解三角形 sin(2)sin()sin cos()cos sin()3545 45350.又 20，32.2.答案 第三章 三角函数、解三角形 规律方法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但
8、仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解第三章 三角函数、解三角形(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练2(1)(2014太原模拟)sin 20 1cos 40cos 50()A.12B.22C.2D2a第三章 三角函数、解三角形 B sin 20 1cos 40cos 50sin 20 2cos2 20cos 5
9、0 2sin 20cos 20cos 5022 sin 40cos 50 22 sin 40sin 40 22，选 B.第三章 三角函数、解三角形(2)(2014石家庄质检)计算tan4 cos 22cos24 的值为()A2 B2C1 D1第三章 三角函数、解三角形 D tan4 cos 22cos24 sin4 cos 22sin24 cos4 cos 22sin4 cos4 第三章 三角函数、解三角形 cos 2sin 24 cos 2sin2 2 cos 2cos 21.第三章 三角函数、解三角形 典题导入(2013陕西高考)已知向量 a(cos x，12)，b(3sin x，cos
10、2x)，xR，设函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值三角恒等变换的综合应用第三章 三角函数、解三角形 听课记录 f(x)(cos x，12)(3sin x，cos 2x)3cos xsin x12cos 2x 32 sin 2x12cos 2x cos 6 sin 2xsin 6 cos 2x sin(2x6)第三章 三角函数、解三角形(1)f(x)的最小正周期为 T222，即函数 f(x)的最小正周期为.(2)0 x2，62x656.由正弦函数的性质，知当 2x62，即 x3时，f(x)取得最大值 1.第三章 三角函数、解三角形
11、当 2x66，即 x0 时，f(0)12，当 2x656，即 x2时，f(2)12，f(x)的最小值为12.因此，f(x)在0，2上的最大值是 1，最小值是12.第三章 三角函数、解三角形 互动探究在本例条件不变情况下，求函数 f(x)的零点的集合解析 由(1)知 f(x)sin(2x6)sin(2x6)0 2x6 k(kZ)xk212(kZ)，函数 f(x)的零点的集合为x|xk2 12，kZ第三章 三角函数、解三角形 规律方法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相
12、关问题第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练3已知函数 f(x)2cos xcosx6 3sin2xsin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 0，时，若 f()1，求 的值第三章 三角函数、解三角形 解析(1)因为 f(x)2cos xcosx6 3sin2xsin xcos x 3cos2 xsin xcos x 3sin2xsin xcos x 3cos 2xsin 2x2sin2x3，所以最小正周期 T.第三章 三角函数、解三角形(2)由 f()1，得 2sin23 1，又 0，所以 23 3，73，所以 23 56 或 23 136，故 4 或 1112.第三章 三
13、角函数、解三角形 (2012湖北高考)已知向量 a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2 3cos x)，设函数 f(x)ab(xR)的图象关于直线 x 对称，其中，为常数，且 12，1.【创新探究】三角函数的综合应用第三章 三角函数、解三角形(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在区间0，35 上的取值范围【思路导析】(1)求出 f(x)后利用三角变换化简 f(x)，由函数图象关于 x对称建立关系式求 得出 T.(2)利用 f4 0 代入后求出 x 的范围可得取值范围 第三章 三角函数、解三角形【解析】(1)因
14、为 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x2sin2x6.由直线 x是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin26 1，所以 26 k2(kZ)，即 k213(kZ)第三章 三角函数、解三角形 又 12，1，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)的图象过点4，0，得 f4 0，即 2sin562 6 2sin 4 2.故 f(x)2sin53x6 2.第三章 三角函数、解三角形 由 0 x35，有6 53x6 56，所以12sin53x6 1，得1 22sin53x6 22 2，故函数 f(x)在0，3
15、5 上的取值范围为1 2，2 2 第三章 三角函数、解三角形【高手支招】第一步：理清题意化简f(x)为Asin(x)B的形式；第二步：利用条件确定f(x)中的参数值；第三步：根据问题研究f(x)相关的性质；第四步：求解得结论并回顾解题过程第三章 三角函数、解三角形 体验高考1(2013天津高考)已知函数 f(x)2sin(2x4)6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值第三章 三角函数、解三角形 解析(1)f(x)2sin 2xcos 4 2cos 2xsin 4 3sin 2xcos 2x2sin 2x2co
16、s 2x 2 2sin(2x4)所以 f(x)的最小正周期 T22.第三章 三角函数、解三角形(2)因为 f(x)在区间0，38 上是增函数，在区间38，2 上是减函数，又 f(0)2，f(38)2 2，f(2)2，故函数 f(x)在区间0，2 上的最大值为 2 2，最小值为2.第三章 三角函数、解三角形 2(2013北京高考)已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x.(1)求 f(x)的最小正周期及最大值；(2)若(2，)，且 f()22，求 的值第三章 三角函数、解三角形 解析(1)因为 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x cos 2xsin 2x12cos 4x 12(sin 4xcos 4x)22 sin(4x4)，所以 f(x)的最小正周期为2，最大值为 22.第三章 三角函数、解三角形(2)因为 f()22，所以 sin(44)1.因为(2，)，所以 44(94，174)所以 44 52.故 916.第三章 三角函数、解三角形 课时作业