1、高考资源网（） 您身边的高考专家四开放题命题热点之解三角形数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考解三角形是开放性命题的热点之一三角形中基本量的计算(2020新高考全国卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？解：(方法一)由sin Asin B可得，不妨设a
2、m，bm(m0)，则c2a2b22abcos C3m2m22mmm2，即cm，所以bc.选择条件：据此可得acmmm2，所以m1，此时a，bc1，三角形存在选择条件：据此可得cos A，所以A.则sin A，所以csin Am3，所以m2，则bc2，a6，三角形存在选择条件：因为bc，与条件cb矛盾，所以问题中的三角形不存在(方法二)因为sin Asin B，C，B(AC)，所以sin Asin(AC)sinsin Acos A，所以sin Acos A，所以tan A，所以A，所以BC，所以bc.若选，ac，因为abc，所以c2，所以c1，即a，bc1，三角形存在；若选，csin A3，则3
3、，得c2，即a6，bc2，三角形存在；若选，与条件cb矛盾，三角形不存在1熟练掌握常见问题的通法寻找恰当的条件搭配(1)已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，注意正弦定理的变形公式，其中a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C能够实现边角互化(2)已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(3)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断2避免失误准确解题(1)应用正弦定理求角时容易出现增解
4、或漏解的情况，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角、大角对大边的规则，可以通过画图来帮助判断(2020德州一模)在条件2cos A(bcos Cccos B)a，csinasin C，(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a，bc2，_.求BC边上的高解：若选条件.由正弦定理得2cos A(sin Bcos Csin Ccos B)sin Asin(BC)，即2cos Asin(BC)sin(BC)，得cos A.因为0A，
5、所以A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，所以化简得c22c30，解得c1或c3(舍)，从而b3.设BC边上的高是h，所以bcsin Aah，解得h.若选条件.由正弦定理得sin Csinsin Asin C因为sin C0，所以sinsin A由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，因此A.下同选条件.若选条件.由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A1，此时B无解所以ABC不能同时满足条件，所以ABC同时满足条件.所以SABCbcsin Ab810，解得b5
6、与矛盾，所以ABC还同时满足条件.(2)在ABC中，由正弦定理得2.因为CB，所以b2sin B，c2sin，所以Labc23636sin3.因为B，所以B，所以sin.所以ABC周长L的取值范围为(6,9解答三角形的面积和周长有关问题的策略(1)利用三角恒等变换公式化简已知条件等式，并注意用正弦定理、余弦定理进行边角互化(2)根据条件选择三角形面积公式或计算三角形的周长(3)若求最值，注意根据条件利用基本不等式或三角函数的性质求最值(2020临沂高三期末)在cos A，cos C，csin Csin Absin B，B60，c2，cos A三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答已知
7、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a3，_，求ABC的面积S.解：若选.因为cos A，cos C，A，C(0，)，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理得b，所以Sabsin C3.若选.因为csin Csin Absin B，所以由正弦定理得c2ab2.因为a3，所以b2c23.又因为B60，所以b2c2923cc23，解得c4，所以Sacsin B3.若选.因为c2，cos A，所以由余弦定理得，即2b2b100，解得b或b2(舍去)因为A(0，)，所以sin A，所以Sbcsin A2.- 7 - 版权所有高考资源网