1、第四部分考点详解4.1 角的平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：【例题】已知MAN，AC 平分MAN（1）在图 1 中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC；（2）在图 2 中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图 3 中：MAN=60，ABC+ADC=180，则 AB+AD=AC；若MAN
2、=（0180），ABC+ADC=180，则 AB+AD=AC（用含的三角函数表示），并给出证明 4.2 旋转 （1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前、后的图形全等（2）旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样【例题】在 RtABC 中，ACB=90，tanBAC=21 ,点 D 在边 AC 上（不与A，C 重合），连结 BD，F 为 BD 中点。（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1 设 CF=kEF，则 k=；（2）若将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转，
3、使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD中点，如图 2 所示求证：BE-DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段 CF 长度的最大值 BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图4.3 直角三角形斜边中线+四点共圆 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形 【例题】已知：在ABC 中，ABC=90,点 E 在直线 AB 上,ED 与直线 AC垂直,垂足
4、为 D，且点 M 为 EC 中点,连接 BM,DM.（1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足 的数量关系,并直接写出你得到的结论；（2）如图 2，若点 E 在 BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明;（3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足的数量关系.图 1 图 2BEDAMCEBACDMBEDAMCEBACDM4.4 倍长过中点的线段 如图 1，在菱形 ABCD和菱形 BEFG 中，点 ABE，在同一条直线上，P 是线
5、段 DF 的中点，连结 PGPC，若60ABCBEF o，探究 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值 小聪同学的思路是：延长GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值；（2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）若图 1 中2(090)ABCBEF oo
6、，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 PGPC 的值（用含 的式子表示）DABEFCPG图 1DCGPABEF图 24.5 共端点的等线段，旋转 如图 1，在ABCD 中，AEBC 于 E，E 恰为 BC 的中点，2tanB.（1）求证：AD=AE；（2）如图 2，点 P 在 BE 上，作 EFDP 于点 F，连结 AF.求证：AFEFDF2；（3）请你在图 3 中画图探究：当 P 为射线 EC 上任意一点（P 不与点 E 重合）时，作 EFDP 于点 F，连结 AF，线段 DF、EF 与 AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图 1E
7、BCAD图 3EBCAD图 2ECBADFP4.6 利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；，。（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 60时，这对 60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。4.7 利用平移变换转移线段+作图 在 RtABC 中，C=90，D，E 分别为 CB，CA 延长线上的点，BE 与 AD 的交点为 P.（1）若 BD=AC，AE=CD，画出符合题意的图形，并直接写出APE
8、的度数；（2）若3ACBD，3CDAE，求APE 的度数.4.8 翻折全等+等腰（与角平分线类比）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点 DE，分别在 ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A，12DCBEBCA 请你写出图中一个与A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A 是不等于60的锐角，点 DE，分别在 ABAC，上，且12DCBEBCA 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你
9、的结论 4.9 由角平分线启发翻折，垂线 （1）如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（3）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。4.10 启发利用重心分中线，中点相关内容 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过
10、证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为 21请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点 0 为等腰直角三角形 ABC 的重心，CAB=90，直线 m 过点 O,过 A,B,C 三点分别作直线 m 的垂线，垂足分别为点 D,R,F.(1)当直线 m 与 BC 平行时（如图 1），请你猜想线段 BE,CF 和 AD 三者之间的数量关系并证明；(2)当直线 m 绕点 O 旋转到与 BC 不平行时，分别探究在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD,BE,CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，
11、不需证明 图 1 图 2 图 34.11 由特殊形解题启发构造哪些相等的角 如图，P 为ABC 内一点，连接 PA、PB、PC，在PAB、PBC 和PAC 中，如果存在一个三角形与ABC 相似，那么就称 P 为ABC 的自相似点 如图，已知 RtABC 中，ACB=90，ABCA，CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BECD，垂足为 E，试说明 E 是ABC 的自相似点 在ABC 中，ABC 如图，利用尺规作出ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数 BBBCCCAAADPE4.12 一题多解与题目的变式及类题
12、【例题 1】点 M 为正方形 ABCD 的边 AB（或延长线上）任一点（不与 A，B 重合），90DMN，射线 MN 与ABC的外角平分线交于点 N，求证：DM=MN.【变式】A、方法类比，改变图形 等边三角形 ABC 中，在 BC 边上任取一点 D（不与 A，B 重合），作 60ADE，DE 交C 的外角平分线于 E，判断ADE 的形状，并证明。若 D 是射线 BC 上任一点，上述结论是否成立?【变式】B、方法类比，改变图形 如图,正六边形 ABCDEF,点 M 在 AB 边上，120FMH,MH 与六边形ABC外角的平分线 BQ 交于 H 点.当点 M 不与点 A、B 重合时，求证：AFM
13、=BMH;ENABDCMECABD 当点 M 在正六边形 ABCDEF 一边 AB 上运动(点 M 不与点 B 重合)时,猜想 FM与 MH 的数量关系，并对猜想的结果加以证明.EDFACBNMHQ【变式】C、方法类比，改变背景 1、如图，边长为 5 的正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点处，点 A,C 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，点 E 是 OA 边上的点（不与点 A 重合），EFCE，且与正方形外角平分线 AC 交于点 P.（1）当点 E 坐标为(3，0)时，试证明 CE=EP；（2）如果将上述条件“点 E 坐标为（3，0）”改为“点 E 坐标为（t，0）（t0）”，结论 CE=E
14、P 是否仍然成立，请说明理由；（3）在 y 轴上是否存在点 M，使得四边形 BMEP 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由.BPGOFAECy【例题 2】如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45，求证：EFBEFD 【变式】A、方法类比，特殊到一般削弱题目条件（1）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是 BC、CD上的点，且EAF 是BAD 的一半，那么结论 EFBEFD 是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.【变式】B、方法类比，改变图形（2）在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D1
15、80，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，使得EAF 仍然是BAD 的一半，则结论 EFBEFD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.ABCDEFABCDEFABCDEF4.13 旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）已知：等边三角形 ABC(1)如图 1，P 为等边ABC 外一点，且BPC=120试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想；(2)如图 2，P 为等边ABC 内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD CABP图 1CBAPD图 2【类题】1、已知:在ABC 中，BC=a，AC=b，以 AB 为边作等
16、边三角形 ABD.探究下列问题:（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD=；图 1 如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD=；图 2 DCBAABCD（3）如图 3，当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.图 3ABCD4.14 启发构造三角形转移线段 【例 1】已知：2PA，4PB ，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.（1）如图，当APB=45时，求 AB 及 PD 的长；（2）当
17、APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小.【例 2】如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，点 E 为 CD 的中点，点F 在底边 BC 上，且FAE=DAE （1）请你通过观察、测量、猜想，得出AEF 的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取 若梯形 ABCD 中，ADBC，C 不是直角，点 F 在底边 BC 或其延长线上，如图 2、图 3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图 2、图 3 中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由 图 1 图 2 图 3 【
18、类题】已知点 A，B 分别是两条平行线 m，n 上任意两点，C 是直线n 上一点，且ABC=90，点 E 在 AC 的延长线上,BCkAB(k0).（1）当 k1 时，在图（1）中，作BEFABC，EF 交直线 m 于点 F，写出线段 EF 与 EB 的数量关系，并加以证明；（2）若 k1，如图(2)，BEFABC，其它条件不变，探究线段 EF 与 EB 的数量关系，并说明理由 （1）（2）4.15 由位置的不确定引发的分类讨论 在 RtABC 中，ACB=90，BC=30，AB=50点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PEAB，与边 AC 或 BC 相交于 E点 M 在线段 AP 上，点
19、N 在线段 BP 上，EM=EN，sinEMP=1312 （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x，BN=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME 的顶点 A、M、E 分别与ENB 的顶点 E、N、B对应），求 AP 的长 图 1 图 2 备用图 4.16 由图形的不确定引发的分类讨论 如图，在梯形 ABCD中，3ADBCAD，510DCBC，梯形的高为4动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点 N
20、同时从C 点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为t（秒）（1）当 MNAB时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC为等腰三角形 4.17 与面积有关的动点问题【例 1】等边ABC 边长为 6，P 为 BC 边上一点，MPN=60，且 PM、PN 分别于边 AB、AC 交于点 E、F.（1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PEAB 时，判断EPF 的形状；（2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PEAB，设 BP=x，四边形 AEPF面积的 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）如图 3，若
21、点 P 在 BC 边上运动，且MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的长.图 1 图 2 图 3 【例 2】在ABCD 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EF（如图 1）.（1）在图 1 中画图探究：当 P1为射线 CD 上任意一点（P1不与 C 点重合）时，连结 EP1，将线段EP1绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EG1 判断直线 FG1与直线 CD 的位置关系并加以证明；当 P2点为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2，将线段 EP2绕点E 逆时针旋转 90得到线段 EG2.判断直线 G1G2
22、与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若 AD=6，tanB=34，AE=1，在的条件下，设 CP1=x，SP1FG1=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.图 1图 2（备用）【例 3】如图 1，在 RtABC 中，C90，AC9cm，BC12cm在 RtDEF中，DFE90，EF6cm，DF8cmE，F 两点在 BC 边上，DE，DF 两边分别与 AB 边交于 G，H 两点现固定ABC 不动，DEF 从点 F 与点 B 重合的位置出发，沿 BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 P 从点 F 出发，在折线 FDDE 上以2cm/s 的速度向点 E 运动DEF 与点 P 同时出发，当点 E 到达点 C 时，DEF和点 P 同时停止运动设运动的时间是 t（单位：s），t0（1）当 t2 时，PH=cm，DG=cm；（2）t 为多少秒时PDE 为等腰三角形？请说明理由；（3）t 为多少秒时点 P 与点 G 重合？写出计算过程；（4）求 tanPBF 的值（可用含 t 的代数式表示）
