1、第卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知复数，则复数的虚部为 【答案】-2【解析】试题分析：的实部是3，虚部是-2，故填：-2.1考点：复数2.命题：“”的否定是 【答案】【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并且后面结论否定，所以“”的否定是.考点：特称命题的否定3.已知函数，则 【答案】【解析】试题分析：，所以，故填：2016.考点：导数4.双曲线的渐近线方程为 【答案】【解析】试题分析：，所以，双曲线的渐近线方程是，故填：.考点：双曲线的简单几何性质5.按如右图所示的流程图，输出的结果为 【答案】11【解析】试题分析：当时，进入循环，输出.考点
2、：循环结构6.若集合满足，则命题“”是命题“”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【答案】必要不充分【解析】试题分析：根据条件可得集合是集合的真子集，所以命题p不能推出命题q,但命题q能推出命题p,所以命题p是命题q的必要不充分条件，故填：必要不充分.考点：充分必要条件7.用数学归纳法证明：“”，由不等式成立，推证时，左边应增加的项的项数是 【答案】【解析】试题分析：分母是公差为1的等差数列，当时，最后一项的分母是，当时，最后一项的分母是，增加的项数为项，故填：.考点：数学归纳法8.下列四个命题：一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；命题“设，若，则或”是一个假命题；
3、“”是“”的充分不必要条件；一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中不正确的命题是 （写出所有不正确命题的序号）【答案】【解析】试题分析：互为逆否命题的两个命题等价，逆命题与否命题互为逆否，所以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，所以错误；当命题不方便判断时，可以判断其逆否命题“且，则”是真命题，所以原命题也是真命题，所以错误；的解集是或，而是或的真子集，所以“”是 “”的充分不必要条件，正确；一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为真，它的逆命题一定为真，正确，所以不正确的有.考点：命题9.在中，则的外接圆半径；类比到空间，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为
4、，则三棱锥的外接球的半径 【答案】1111【解析】试题分析：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将此三棱锥补全为以为棱的长方体，而长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，所以,故填：.1考点：类比推理10.设函数的导数为，且，则 【答案】【解析】试题分析：，而，所以，故填：.考点：导数11.过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 【答案】【解析】试题分析：设，代入方程，两式相减得到：，当时，整理为：，而，所以直线方程为，整理为：，故填：.考点：点差法12.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：根据数形结合， 和都是
5、过原点的直线，并且，当在原点处相切时，所以不等式恒成立，只需，故填：.考点：1.数形结合；2.导数的几何意义.13.设为抛物线上的两动点，且线段的长为6，为线段的中点，则点到轴的最短距离为 【答案】2【解析】试题分析：轴，轴，当直线AB不过焦点F时，点A,B,F能构成三角形ABF,此时点M到x轴的距离，而,而,所以,当直线AB过焦点时，此时A,B,F在一条直线上，点M到x轴的距离，而,而,所以，所以点到轴的最短距离为2. 1考点：抛物线的几何性质14.过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 【答案】【解析】考点：直线与椭圆的位置关系第卷
6、（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分14分）已知(1)是的什么条件？(2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）充分不必要条件；（2）【解析】试题分析：（1）首先求解两个命题中不等式的解集，然后求两个不等式的解集，判定集合间的关系，得到结果，或是利用互为逆否的两个命题等价，将是的什么条件转化为是的什么条件判断；（2）求r不等式的解集，再求其补集，若是的必要非充分条件，集合是集合的真子集，根据数轴判断端点的大小.试题解析：(1)，. 12分，14分是的充分不必要条件16分(2).：.是的必要非充分条件 18
7、分. 112分的取值范围是. 114分考点：充分必要条件16.（本题满分14分）设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】111试题分析：（1）根据点M在椭圆上，并且与轴垂直，得到点M的坐标，,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以，即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得，又根据条件,可求得点N的坐标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式，即可求得椭圆方程. 1试题解析：（1）记，则，由题设可知，则， 14分； 1
8、6分（2）记直线与轴的交点为，则， 18分， 110分将的坐标代入椭圆方程得 112分由及得， 113分故所求椭圆的方程为 114分1111考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.111117.（本题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件根据统计资料，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式 (日产品废品率=100) 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额） （1）将该车间日利润(千元)表示为日产量 (件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】(1) ，(
9、2)详见解析.【解析】试题分析：（1）该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额，所以，代入函数的关系式，得到产量与利润的含关系；（2）根据（1）的结论，利用导数分别求两段函数的导数，分析函数的单调性与极值，比较得到函数的最大值.试题解析：(1)由题意可知，(2)考虑函数，当时，令，解得6分当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，又是整数，所以当时，函数由最大值10分当时，所以函数在上单调递减，当时，函数取值最大值.1考点：1.函数的实际应用；2.导数与函数的单调性与极值和最值.18.（本题满分16分）设为虚数单位，为正整数，（1）用数学归纳法证明
10、：；（2）已知，试利用（1）的结论计算；（3）设复数，求证：【答案】(1)详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）数学归纳法的证明需两个步骤，第一个步骤需验证初始值，第二步，当时，等式成立，需证明当时，等式也成立，在证明过程需要使用假设的结论；（2）化简为，然后根据（1）的结论计算；（3）根据（1）和（2）可将，然后代入公式计算.试题解析：（1）证明：当时，左边=右边=，所以命题成立； 11分假设当时，命题成立，即， 12分则当时， 13分 ； 15分综上，由和可得， 16分（2）， 19分 111分（3）， 113分， 114分记， 115分 116分. 1考点：1.数学归
11、纳法；2.复数；3.新定义.19.（本题满分16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图19-1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图19-2）试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为记椭圆的方程为过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点；设点为椭圆上位于第一象限
12、内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围【答案】(1) ；（2）详见解析；.【解析】试题分析：(1)焦点到长轴端点的距离为或，若球与球桌的接触点是长轴端点，那么第一次回到原焦点的长度分别为或，如果不是长轴端点，而是其他点，根据椭圆的定义，再次回到原焦点，会走两个到焦点的距离和；（2）设设，再分别写出过点A,B的切线方程，因为都过点M,所以代入点M，得到两个同类形的方程，这个方程就是直线AB的方程，与无关，即得直线AB所过的定点；：椭圆在处的切线，根据现象（2）可知直线，这样根据切线方程，根据垂直关系，可得点的坐标表示为，这样可求得坐标的范围.试题解析：解（
13、1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以；14分（2）设，则15分， 16分代入，得， 17分则点的坐标均满足方程， 19分所以，直线恒过定点； 110分由（2）的结论知：椭圆在处的切线的方程为， 111分由事实现象（2）知：直线， 113分令，得点的横坐标为， 15分 116分。1考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.新定义做题.20.（本题满分16分）已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为（1）求实数的值；1111（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：1来【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求得，再根据函数是奇函数，可求得；（2）根据（1）的结论，可将问题转化为恒成立，通过讨论自变量的正负，参变分离后可将问题转化为，这样设函数，利用导数求函数的最值，即得的取值范围；（3）点A,B在曲线上，设出点的坐标，经过指对互化，表示，再通过分析法证明.试题解析：解：（1）， 12分为奇函数，； 14分（3）由（2）知，设， 111分， 112分， 113分要证，即证，令，即证，令，即证，在上单调减，在上单调减， ，所以， 116分。考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性以及最值；3.分析法.
