1、第七章 立体几何第七节 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直在如图所示的四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD2 2，点 M 为 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC.证明：PQ平面 BCD.证明：如图所示，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线为 y 轴，z 轴的正半轴的空间直角坐标系 Oxyz.由题意知 A(0，2，2)，B(0，2，0)，D(0，2，0)设点 C 的坐标为(x0，y0，0)，由AQ 3QC，所以可求点 Q(34x0，24 34y0，12)，又 M 为 AD 的中点，则 M(0，2，1)
2、由 P 为 BM 的中点，得 P(0，0，12)，所以PQ(34x0，24 34y0，0)又平面 BCD 的一个法向量 a(0，0，1)，aPQ 0，由于 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.1本题易忽视 PQ平面 BCD，盲目下结论 PQ平面 BCD，导致推理不严谨 2用向量证明线面平行的方法(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 如图所示，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD是直角三角形，且 PAAD2，E，F，G 分别是线段 PA，P
3、D，CD的中点求证：PB平面 EFG.证明：平面 PAD平面 ABCD，且 ABCD 为正方形，AB，AP，AD 两两垂直 以 A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)法一 EF(0，1，0)，EG(1，2，1)，设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)，则nEF0，nEG 0，即y0，x2yz0，令 z1，则 n(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量，PB(2，0，2)，PBn0，nPB，PB面 EFG，PB平面 EFG.
4、法二 PB(2，0，2)，FE(0，1，0)，FG(1，1，1)设PBsFE tFG，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，t2，ts0，t2，解得 st2.PB2FE 2FG，又FE 与FG 不共线，PB、FE 与FG 共面 PB平面 EFG，PB平面 EFG.(2016济南模拟)如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC.(2)若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM3.试证明平面 AMC平面 BMC.证明：(1)如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP
5、 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 O-xyz.则 O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)于是AP(0，3，4)，BC(8，0，0)AP BC(0，3，4)(8，0，0)0.所以AP BC，即 APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点 M 在线段 AP 上，AM 35AP 0，95，125，又BA(4，5，0)，BM BA AM 4，165，125，AP BM(0，3，4)4，165，125 0，AP BM，即 APBM.又根据(1)的结论知 APBC，AP平面 BMC，于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC，故平面
6、AMC平面 BMC.1利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示(2015北京卷)如图，在四棱锥 AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O 为 EF 的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角 FA
7、EB 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a 的值(1)证明：因为AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB，AO平面 AEF，所以 AO平面 EFCB，所以 AOBE.(2)解：取 BC 的中点 G，连接 OG.由题设知四边形 EFCB 是等腰梯形，所以 OGEF.由(1)知 AO平面 EFCB，又 OG平面 EFCB，所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 E(a，0，0)，A(0，0，3a)，B(2，3(2a)，0)，EA(a，0，3a)，BE(a2，3(a2)，0)设平面 AEB 的一个法向量 n(x，y，z)则nEA
8、 0.nBE 0.即ax 3az0（a2）x 3（a2）y0 令 z1，则 x 3，y1，于是 n(3，1，1)又平面 AEF 的一个法向量为 p(0，1，0)，所以 cosn，p np|n|p|55.由题知二面角 FAEB 为钝角，所以它的余弦值为 55.(3)解：因为 BE平面 AOC，所以 BECO，即BE OC 0.因为BE(a2，3(a2)，0)，OC(2，3(2a)，0)，所以BE OC 2(a2)3(a2)2.由BE OC 0，又 0a2，解之得，a43.(2016保定调研)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1AD1，E 为 CD 中点(1)求证：B1EAD1；
9、(2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由解：以 A 为原点，AB、AD、AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设 ABa.(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(a2，1，0)，B1(a，0，1)，故AD1(0，1，1)，B1E a2，1，1，因为B1E AD1 a2011(1)10，因此B1E AD1，所以 B1EAD1.(2)解：存在满足要求的点 P，假设在棱 AA1 上存在一点 P(0，0，z0)，使得 DP平面 B1AE，此时DP(0，1，z0)，再
10、设平面 B1AE 的一个法向量为 n(x，y，z)AB1(a，0，1)，AE(a2，1，0)因为 n平面 B1AE，所以 nAB1，nAE，得axz0，ax2 y0，取 x1，则 ya2，za，则平面 B1AE 的一个法向量 n(1，a2，a)要使 DP平面 B1AE，只要 nDP，有a2az00，解得 z012.所以存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP12.利用向量解决与垂直、平行有关的探索性问题 1根据题目的条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论 2假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，
11、构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在 在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF平面 PCB.若存在，求出点 G 坐标；若不存在，试说明理由(1)证明：如图，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 ADa，则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，a2，0)，P(0，0，a)，F(a2，a2，a2)则EF(a2，0，a2)，DC(0，a，0)EFDC 0，EFDC，从而得 EFCD.(2)解：假设存在满足条件的点 G，设 G(x，0，z)，则FG xa2，a2，za2.若使 GF平面 PCB，则 FGCB，FGCP.FG CB(xa2，a2，za2)(a，0，0)a(xa2)0，得 xa2；由FG CP(xa2，a2，za2)(0，a，a)a22 a(za2)0，得 z0.G 点坐标为(a2，0，0)，即存在满足条件的点 G，且点 G 为 AD的中点